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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Kniwler |
| Aufgabe | | Sei (G,*) eine Gruppe und f:G -> G, f(x):=x^(-1) ein Automorphismus, so muss die Gruppe G abelsch sein |
Dass wenn die Gruppe (G,*) abelsch ist, die Abbildung f:G->G, f(x):=x^(-1) ein Automorphismus ist kann man ganz leicht wie folgt beweisen:
f(x*y) = (x*y)^(-1) = y^(-1) * x^(-1) = f(y) * f(x) = f(x) * f(y).
Was mir bisher aber noch nicht gelungen ist zu beweisen ist die Umkehrung:
Ist f ein Automorphismus, so muss die Gruppe G abelsch (kommutativ) sein. Ich weiss dass f eine bijektive Funktion sein muss und dass zu jedem Element x aus G auch das inverse Element x^(-1) aus G gehört. Wie man diese Eigenschaften bei der Beweisführung anwendet weiss ich jedoch nicht. Ich würde mich sehr freuen wenn mir irgend jemand weiterhelfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei (G,*) eine Gruppe und f:G -> G, f(x):=x^(-1) ein
> Automorphismus, so muss die Gruppe G abelsch sein
> Was mir bisher aber noch nicht gelungen ist zu beweisen
> ist die Umkehrung:
> Ist f ein Automorphismus, so muss die Gruppe G abelsch
> (kommutativ) sein.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du kannst stattdessen die Kontraposition beweisen, also:
G nicht abelsch ==> f kein Automorphismus.
Wenn G nicht abelsch ist, gibt es Elemente a,b mit [mm] ab\not=ba.
[/mm]
Es ist [mm] f(a^{-1})=a [/mm] und [mm] f(b^{-1})=b [/mm]
Nun rechne vor, daß [mm] f(a^{-1}b^{-1}) [/mm] nicht dasselbe ist wie [mm] f(a^{-1})f(b^{-1}).
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:51 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Kniwler |
Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen. Ich hab es verstanden! ;)
fG von Kniwler
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