Automorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Fr 12.02.2010 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | | Identifizieren Sie zu einer bekannten Gruppe [mm] Aut(\IZ/n\IZ) [/mm] , die Gruppe der Automorphismen von [mm] \IZ/n\IZ. [/mm] |
Also ich habe bei dieser Aufgabe noch nicht so eine grosse Ahnung.
Es sei mal f ein Iso mit f: [mm] \IZ/n\IZ \to \IZ/n\IZ, \overline{1} \mapsto \overline{1}.
[/mm]
Ausserdem ist f(a+b) = f(a)+f(b), mit a,b [mm] \in \IZ/n\IZ
[/mm]
f(a + [mm] a^{-1}) [/mm] = 0, f(a) + [mm] f(a)^{-1} [/mm] = 0.
Doch was kann ich nun als nächstes folgern was mich weiterbringt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Fr 12.02.2010 | | Autor: | pelzig |
Versteh ich die Aufgabe richtig, du sollst die Automorphismengruppe von [mm] $\IZ/n\IZ$ [/mm] bestimmen? Falls ja, dann brauchst du dir nur zu überlegen, dass das Bild eines jeden Endomorphismus [mm] $f\in\operatorname{End}(\IZ/n\IZ)$ [/mm] erzeugt wird durch $f(1)$. $f$ ist also genau dann surjektiv (und damit injektiv), wenn $f(1)$ die Ordnung $n$ in [mm] $\IZ/n\IZ$ [/mm] hat, d.h. wenn [mm] $\operatorname{ggT}(f(1),n)=1$ [/mm] ist, und dafür gibt es genau [mm] $\varphi(n)$ [/mm] Möglichkeiten. Dabei ist [mm] $\varphi$ [/mm] die ![[]](/images/popup.gif) Eulersche Phi-Funktion, unter dem Link findest ist auch ein Hinweis versteckt, zu welcher Gruppe [mm] $\operatorname{Aut}(\IZ/n\IZ)$ [/mm] dann wohl isomorph sein könnte... 
Gruß, Robert
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