Automorphismus finden < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Mo 23.01.2006 | | Autor: | MrPink |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:39 Mo 23.01.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du bist doch jetzt schon was länger hier.
Wie wäre es, wenn du dich mal an den Formeleditor gewöhnst.
LaTeX (und die hier ähnlich verwendete Sprache) ist nicht nur einfach zu lernen, sondern sieht auch wesentlich besser als Word aus...
Unter dem Artikel, den man schreibt, findet sich auch eine zusammen-clickbare Hilfe, wo man den einzusetzenden Befehl sieht...
siehe auch HIER für weitere Hilfe.
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
probieren wir es, ich darf ein wenig ausholen, um uns zu verdeutlichen, was zu tun ist.
Sei M alst Teilmenge von [mm] \IQ [/mm] und nicht eine der angegebenen Mengen, und
wir haben nur die Addition als zweistellige Operation (d.h. keine Konstanten etc. !!!,
siehe den anderen Strang mit aehnlichem Thema).
Was sind dennn ueberhaupt die Automorphismen von [mm] (\IQ, [/mm] +) ?
Doch Abbildungen [mm] f\colon\IQ\to\IQ [/mm] mit [mm] \froall p,q\in\IQ [/mm] (f(p+q)=f(p)+f(q).
Aus der Def. von Automorphismus kriegt man dann ueber Vollst. Ind., dass sicher dann auch fuer alle [mm] n\in\IN_0 [/mm] und alle [mm] q\in\IQ f(n\cdot q)=n\cdot [/mm] f(q) sein muss,
insbesondere [mm] f(n)=f(1)\cdot [/mm] n und [mm] f(\underbrace{1\slash n+\ldots+1\slash n}_{n\: mal})=n\cdot f(1\slash [/mm] n)=f(1), also [mm] f(1\slash n)=\frac{1}{n}\cdot [/mm] f(1) und somit
allgemein fuer [mm] q=\frac{a}{b} [/mm] mit [mm] a,b\in\IN [/mm]
[mm] f(a\slash [/mm] b)= [mm] f(a)\cdot f(1\slash b)=f(1)\cdot a\cdot f(1)\slash [/mm] b [mm] =f(1)^2\cdot \frac{a}{b}
[/mm]
und andererseits [mm] f(a\slash b)=a\cdot f(1\slash [/mm] b) = [mm] a\cdot (1\slash b)\cdot [/mm] f(1)
somit [mm] f(1)=f^2(1) [/mm] und also f(1)=1.
Waere somit der einzige Automorphismus die Identitaet ?
Wenn ja, wuerd das ja als Hilfsmittel fuer Deine Aufgabe nicht reichen.
Ich meld mich ggf. spaeter nochmal, vielleicht kommst Du ja schon ein Stueck weiter
oder entdeckst einen Fehler in meiner Rechnung oder so.
Viele Gruesse,
Mathias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Mo 23.01.2006 | | Autor: | MrPink |
Hallo und vielen Dank erstmal. Sehr schöner Beweis 
Das mit der Identität habe ich bereits vermutet. konnte es aber nur mit Worten erklären. Das Problem ist aber, dass ich damit ja nicht zeigen kann, dass die Formel nicht in FO definierbar ist ?!?! Dies ist aber die einzige Methode die ich kenne :-( Fällt die vielleicht sonst noch was ein. Ich habe gehört es könnte auch über eine Art Auswertungsspiel funktionieren ?
Schönen abend noch!
Gruss
MrPinK
|
|
|
| |
|
Hallo zusammen,
also das Zwiegespraech zwischen MrPink und mir ergab:
Die Automorphismen von [mm] (\IQ,+) [/mm] sind genau die Abbildungen
[mm] f_c\colon \IQ\to\IQ, \:\: x\mapsto c\cdot [/mm] c [mm] \:\: \: [/mm] mit [mm] c\neq [/mm] 0.
Falls nun [mm] M\subseteq\IQ [/mm] FO-definierbar ist, d.h. es gibt eine First-Order-Formel ueber
der syntaktischen Basis [mm] (\{+\},\emptyset) [/mm] (ein zweist. Funktionssymbol, keine Praedikaten-/Relationssymbole) F(x) mit einer freien Variable x, so dass
[mm] M=\{q\in \IQ|\:\: F(q)\} [/mm] gilt
und M nicht eine der von MrPink angegebenen Mengen ist, so muss
aber M invariant unter Automorphismen sein, und es wuerde dann aber M eine Zahl
[mm] q\neq [/mm] 0 enthalten und nicht die Zahl -q, oder aber weder q noch -q.
Dann koennte man aber via Automorphismus ein [mm] p\in [/mm] M auf einen dieser Werte abbilden - Widerspruch.
Viele Gruesse,
Mathias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:54 Mo 23.01.2006 | | Autor: | MrPink |
Hallo noch mal,
ist den nicht f(x)=-x eine Automorphismus auf (Q,+) ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Mo 23.01.2006 | | Autor: | MrPink |
Kann es sein , dass die Annahme a,b Element N nicht richtig ist ? Damit wird ja nicht ganz Q abgedeckt oder ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:33 Di 24.01.2006 | | Autor: | mathiash |
Guten Morgen,
also [mm] x\mapsto [/mm] -x sollte doch auch ein Automorphismus sein fuer [mm] (\IQ,+).
[/mm]
Und ich denke, die obige Schlussweise enthaelt auch einen Fehler, und zwar
schreib ich an einer Stelle [mm] f(a\slash b)=f(a)\cdot f(1\slash [/mm] b), und das ist falsch.
Also der Ansatz stimmt ansonsten aber, man bekommt also fuer [mm] a,b\in \IN
[/mm]
[mm] f(a\slash [/mm] b) [mm] =f(1)\cdot \frac{a}{b}
[/mm]
und dasselbe auch fuer [mm] a\in\IZ.
[/mm]
Damit SIND also [mm] 1\mapsto [/mm] 1 und [mm] 1\mapsto [/mm] -1 die einzigen Automorphismen
von [mm] (\IQ,+).
[/mm]
Zur FO-Definierbarkeit: Was wissen wir denn ueber Abschlusseigenschaften von
FO-Defbarkeit ?
Wenn [mm] A,B\subseteq\IQ [/mm] FO-defbar sind, so doch auch A+B und sowas, oder ?
(direkt ueber Definition der FO-Defbarkeit).
Koennte das helfen ?
Ich schau mal weiter.....
Gruss,
Mathias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:08 Di 24.01.2006 | | Autor: | mathiash |
Oh, ja klar, f(1) [mm] =c\in\IQ\setminus\{0\} [/mm] ist ja moeglich - und zum einen das, was man intuitiv erwarten wuerde, zum anderen das, was auch bei mir herauskommt, oder ?
Das ist es dann, nicht wahr ?
Viele Gruesse,
Mathias
|
|
|
|
