Axiale Flächenträgheitsmoment < Bauingenieurwesen < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:23 Mi 02.09.2009 | | Autor: | Senada |
| Aufgabe 1 | | [mm] I_y=\integral_{A}^{}{z^2 dA} [/mm] = [mm] \integral_{-\bruch{h}{2}}^{\bruch{h}{2}}{z^2 * b dz} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Ich habe diese Frage keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
es geht ums algemeine Verständnis.
zu Frage 1)
a) Wenn ich das Flächenträgheitsmoment ausrechne.
WAS rechne ich da genau aus? Überall lese ich nur, dass das Flächenträgheitsmoment wichtig ist um bspw. Biegen von Balken berechnen zu können. Das sagt mir nicht, was es an sich IST.
b) Die Rechnung oben verstehe ich. Ich kann es auch integrieren und komme auch eigenständig auf [mm] \bruch{b*h^3}{12}.
[/mm]
Meine Frage ist, wie kommt man auf dieses [mm] z^2 [/mm] in [mm] \integral_{A}^{}{z^2 dA}? [/mm] Also in dem Denken bis man zu dieser Formel kommt. Da muss doch etwas dahinter stecken, so dass ich es mir vorstellen kann und sozusagen diese Formel "neu" erfinden kann.
Wie kommt man dann außerdem von [mm] \integral_{A}^{}{z^2 dA} [/mm] (eine ganze Fläche integrieren? Sowas gibt's?) auf [mm] \integral_{-\bruch{h}{2}}^{\bruch{h}{2}}{z^2 * b dz}? [/mm] Ich habe noch nie über eine ganze Fläche integriert.
Ich bin total verwirrt, das ergibt für mich noch gar keinen Sinn. Vlt kann jemand etwas Licht ins Dunkel bringen.
Zu Frage 2)
Ich denke zu wissen, wie man das rechnet. Einfach die Formel nutzen
[mm] I_z= \bruch{h*b^3}{12} [/mm] und
[mm] I_y= \bruch{b*h^3}{12}
[/mm]
Also komme ich bei dieser Figur aus der Aufgabe 2 auf
(edit: Höhe ist 200 - Habe ich im Bild vergessen aufzuschreiben!)
[mm] I_z= \bruch{200*300^3}{12} [/mm] - [mm] \bruch{150*200^3}{12} [/mm] = [mm] 350.000.000mm^4=35.000cm^4 [/mm] (Laut Musterlösung - leider ohne Lösungsweg, ist das richtig.)
Nun das gleiche für [mm] I_y [/mm] nur andersherum, also
[mm] I_y= \bruch{300*200^3}{12} [/mm] - [mm] \bruch{200*150^3}{12} [/mm] = [mm] 129687500mm^4 [/mm] = [mm] 12969cm^4, [/mm] Laut Musterlösung mus hier aber [mm] 10625cm^4 [/mm] rauskommen. Ich komme da nicht weiter.
Was mache ich falsch? (Ich wette es liegt daran, dass ich die Grundformel noch nicht verstanden habe.)
Viele Grüße,
Senada
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 So 06.09.2009 | | Autor: | Senada |
Hallo nochmal,
hier mein Lösungsansatz, ich dachte ich habe die Sache mit dem Flächenträgheitsmoment verstanden und mit dem Steiner Anteil.
Aber die Lösung ist immernoch falsch, die ich rausbekomme.
Wäre lieb, wenn jemand nochmal hier drüberschauen könnte.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Liebe Grüße,
Senada
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 So 06.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Senda!
Du musst zunächst die Lage des Gesamtschwerpunktes ermitteln und darauf anschließend die Steineranteile beziehen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 So 06.09.2009 | | Autor: | Senada |
Ah verdammt...... ich saß jetzt 4h dran und hab den Fehler gesucht.
Ok dann werd ich mal schauen, wie man so den Schwerpunkt berechnet.
Danke nochmals.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Sa 05.09.2009 | | Autor: | chrisno |
Zum allgemeinen Verständnis: es geht um das Hooksche Gesetz.
Im Schulunterricht gibt es das Beuspiel: Die Verlängerung einer Feder ist proportional zur Kraft mit der gezogen wird.
Nun nimm das Ganze für einen Balken, der gebogen wird.
Er ist an dem einen Ende eingespannt, steht im unbelasteten Zustand waagerecht. Diese Richtung entlang des Balkens sei x.
Nun wird auf das freie Ende von oben gedrückt. Der Balken wird krumm und das freie Ende biegt sich nach unten. Diese Richtung ist z.
Bleibt noch die Richtung y. In der passiert derzeit nichts.
Der Querschnitt des Balkens ist senkrecht zur x-Achse.
Nun geht es darum, die Kraft zu berechnen, mit der der Balken gebogen wird. Nehmen wir an, dass der Balken nun in der x-z-Ebene die Form eines Ausschnittes aus einem Kreisring hat. Auf der Außenseite wird der Balken länger, auf der Innenseite kürzer. In der Mitte gibt es die "neutrale Faser", die ihre Länge beibehalten hat.
Würde man einfach den Balken in die Länge ziehen oder ihn stauchen, dann würde die dafür erforderliche Kraft per $F = [mm] -D\Delta [/mm] x$ berechnet. D ist die Proportionalitätskonstante aus dem Hookschen Gesetz.
Es ist hoffentlich leicht einzusehen, dass dieses D nicht nur vom Material abhängt, sondern auch von der Querschnittsfläche des Balkes. D ist proportional zur Querschnittsfläche. Darum verwendet man lieber eine Größe, die nur die Materialeigenschaften berücksichtigt. Die heißt dann Elastizitätsmodul (Schau nach in Wikipedia).
Nun sind wir bereit zum Intgrieren:
Gedanklich wird der Balken in lauter parallele Fasern, die in x-Richtung verlaufen zerlegt. Der Querschnitt ist also in lauter kleine Flächenelemente [mm] $\Delta [/mm] A = [mm] \Delta [/mm] y [mm] \cdot \Delta [/mm] z$ zerlegt. Oben die Fasern sind am stärksten gestreckt. Dann nimmt die Streckung mit abnehmendem z linear ab, bis sie unten zu einer entsprechend großen Stauchung wird. Für jede der Fasern musst Du nun die Kraft $F = [mm] -D\bruch{\Delta A}{A} \Delta [/mm] x$ berechnen.
Im Grenzübergang ist das Dein Flächenintegral. Es wird nun freundlicherweise zu einem "normalen" Integral, weil in y-Richtung nichts zu rechnen ist.
Nun ist die Kraft in jeder Faser proportional zur Verlängerung der Faser. Weiterhin ist die Verlängerung der Faser proportional zum Abstand vonder neutralen Faser.
Also ergibt sich die Kraft in jeder Faser aus dem Quadrat des Abstands von der neutralen Faser. Dies ist das [mm] z^2 [/mm] im Integral.
Beim Flächenträgheitsmoment lässt man nun das D weg, das ist eine Konstante, die man erst dazunimmt, wenn man einen konkretet Balken berechnen will.
Dann heißt es nur noch: Summiere über den Querschnitt des Balkens die Beiträge zur Kraft aller Fasern auf. Dabei ist der Beitrag nun [mm] z^2. [/mm] Im Grenzübergang:
[mm] $I_y [/mm] = [mm] \int_{Unterkante}^{Oberkante} \int_{Vorderkante}^{Hinterkante} z^2 [/mm] dz dy$
Für Heute reicht es, gute Nacht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:19 So 06.09.2009 | | Autor: | Senada |
Vielen Dank. Das hat mir sehr geholfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:14 Mo 14.09.2009 | | Autor: | Senada |
Ich weiß nicht ob das üblich ist, aber ich wollte mich nochmal bedanken. Ihr habt mir sehr geholfen.
Ich habe das Thema verstanden und konnte schon mehrere ähnliche Aufgaben richtig rechnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 Mo 14.09.2009 | | Autor: | chrisno |
Mich motivieren solche Rückmeldugnen mich hier weiter zu engagieren.
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Steiner-Anteil