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| Aufgabe | Die Menge [mm] \IQ (\wurzel{2}) [/mm] = {a [mm] +b\wurzel{2} [/mm] | a,b [mm] \in \IQ [/mm] } zusammen mit der üblichen Multiplikation und Addition von reellen Zahlen bildet einen Körper.
Beweisen Sie die Gültigkeit der Axiome für die multiplikative Gruppe. |
Hallo,
ich habe bei Wikipedia nachgeguckt und habe folgende Einzelaxiome:
a*(b*c) = (a*b)*c
a*b = b*a
1 [mm] \in [/mm] K \ {0} mit 1a = a
Wie muss man nun vorgehen? Also ich habe das so verstanden, dass ich jetzt diese 3 Axiome mit a+b [mm] \wurzel{2} [/mm] beweise. Weiß nicht so recht, was ich machen soll. Wäre dankar für Tipps
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:24 Di 15.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Die Menge [mm]\IQ (\wurzel{2})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {a [mm]+b\wurzel{2}[/mm] | a,b [mm]\in \IQ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } zusammen mit der üblichen Multiplikation und Addition
> von reellen Zahlen bildet einen Körper.
> Beweisen Sie die Gültigkeit der Axiome für die
> multiplikative Gruppe.
> Hallo,
>
> ich habe bei Wikipedia nachgeguckt und habe folgende
> Einzelaxiome:
> a*(b*c) = (a*b)*c
> a*b = b*a
> 1 [mm]\in[/mm] K \ {0} mit 1a = a
Das hast Du aber schlampig formuliert !
Es fehlt noch
Zu jedem [mm] a\in K\setminus\{0\} [/mm] existiert das multiplikative Inverse [mm] a^{-1} [/mm] mit [mm] $a^{-1}\cdot [/mm] a=1$
>
> Wie muss man nun vorgehen? Also ich habe das so verstanden,
> dass ich jetzt diese 3 Axiome mit a+b [mm]\wurzel{2}[/mm] beweise.
> Weiß nicht so recht, was ich machen soll. Wäre dankar
Assoziativität:
Nimm x,y,z [mm] \in [/mm] $ [mm] \IQ (\wurzel{2}) [/mm] $ her und zeige:
x(yz)=(xy)z.
Wenn Du pfiffig bist, gehts ganz schnell !
Kommutativität:
Nimm x,y [mm] \in [/mm] $ [mm] \IQ (\wurzel{2}) [/mm] $ her und zeige:
xy=yz
Wenn Du pfiffig bist, gehts ganz schnell !
Existenz der Eins: na, welches Element $e [mm] \in \IQ (\wurzel{2}) [/mm] $ erfüllt wohl
ea=a für alle $a [mm] \in \IQ (\wurzel{2}) [/mm] $
Beim multiplikativen Inv. bastle doch mal ein wenig.
FRED
> für Tipps
>
>
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Hallo,
mir fällt leider nichts ein.
Ich meine, was soll ich denn für x,y,z einsetzen ? Die sind [mm] \in \IQ(\wurzel{2}) [/mm] okay, aber ich sehe den roten Faden nicht.
Zum Beispiel bei der Kommut. :
xy = yx. Was setze ich für was ein ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Di 15.04.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> mir fällt leider nichts ein.
>
> Ich meine, was soll ich denn für x,y,z einsetzen ? Die
> sind [mm]\in \IQ(\wurzel{2})[/mm] okay,
Dann gib ihnen auch diese Form!
x ist also "(eine rationale [mm] Zahl)+$\sqrt2$ [/mm] *(eine andere rationale Zahl).
Du musst hier also zwei neue Variablen erfinden (ebenso für y und z).
Gruß Abakus
> aber ich sehe den roten
> Faden nicht.
>
> Zum Beispiel bei der Kommut. :
> xy = yx. Was setze ich für was ein ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:53 Di 15.04.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Danke für die Antworten. Ich sollte doch noch die zweite Vorlesung abwarten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 Di 15.04.2014 | | Autor: | abakus |
> Danke für die Antworten. Ich sollte doch noch die zweite
> Vorlesung abwarten.
Wieso? Das ist rechentechnisch Anspruchsniveau (höchstens) Klasse 10.
Setzt [mm] x=e+f*$\sqrt2$, y=g+h*$\sqrt2$, [/mm] [mm] z=j+k*$\sqrt2$, [/mm] wobei e,f,g,h,j,k jeweils rationale Zahlen sind.
Und jetzt rechne damit.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:28 Di 15.04.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo abakus,
okay, vielen Dank für die Antwort. Das sollte machbar sein.
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