Axiome der Reellen Zahlen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie (allein unter Benutzung der Axiome reelen Zahlen und den damit zusammenhämgenden Sätze), dass folgendes gilt:
Sei M [mm] \subset \IR [/mm] eine Teilmenge mit folgenden Eigenschaften:
0 [mm] \in [/mm] M und (x [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] x+1 [mm] \in [/mm] M).
Dann ist [mm] \IN(mit [/mm] Null) [mm] \subset [/mm] M. |
Also ich weiß ehrlich gesagt nicht, was ich hier vieles machen soll.
Reicht es nicht einfach zu sagen, dass M eine induktive Menge von [mm] \IR [/mm] ist und deshalb [mm] \IN [/mm] Teilmenge von M ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:35 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie (allein unter Benutzung der Axiome reelen Zahlen
> und den damit zusammenhämgenden Sätze), dass folgendes
> gilt:
>
> Sei M [mm]\subset \IR[/mm] eine Teilmenge mit folgenden
> Eigenschaften:
> 0 [mm]\in[/mm] M und (x [mm]\in[/mm] M [mm]\Rightarrow[/mm] x+1 [mm]\in[/mm] M).
> Dann ist [mm]\IN(mit[/mm] Null) [mm]\subset[/mm] M.
> Also ich weiß ehrlich gesagt nicht, was ich hier vieles
> machen soll.
> Reicht es nicht einfach zu sagen, dass M eine induktive
> Menge von [mm]\IR[/mm] ist und deshalb [mm]\IN[/mm] Teilmenge von M ist?
na überlegen wir mal: Kennst Du den Körper [mm] $\IF_2$? [/mm] Dort ist $0+0=0$, $0+1=1+0=1$, [mm] $1+1=0\,.$
[/mm]
Man kann sich ja mal fragen: Gilt denn eine analoge Aussage im [mm] $\IF_2$? [/mm] Wir betrachten [mm] $M:=\{0,1\}\,.$ [/mm] Dann erfüllt $M$: $0 [mm] \in [/mm] M$ und für jedes $x [mm] \in [/mm] M$ gilt auch $x+1 [mm] \in M\,.$ [/mm] Denn: $x [mm] \in [/mm] M$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x=0$ oder $x=1$. Im ersten Fall ist $x+1=0+1=1 [mm] \in [/mm] M$, im zweiten Fall ist $x+1=1+1=0 [mm] \in M\,.$
[/mm]
Aber [mm] $\IF_2$ [/mm] enthält doch gar nicht alle natürlichen Zahlen? Was geht denn hier schief? Und was sollte in [mm] $\IR$ [/mm] anders sein?
Und eine Frage habe ich noch: Wie habt ihr [mm] $\IN$ [/mm] definiert? (Vielleicht über die Peano-Axiome?) Weiter wäre es auch interessant, welche Axiome von [mm] $\IR$ [/mm] Euch bekannt sind. Auch schon Ordnungsaxiome?
Denn z.B. nach ![[]](/images/popup.gif) Heusers Definition (wobei man dort vielleicht bei Euch $0 [mm] \in [/mm] M$ fordern müsste/sollte), ist Eure Behauptung wiederum trivial. Daher denke ich, dass ihr irgendwie anders vorgegangen seit?
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
danke erstmal für die Antwort.
also den Körper F2 kenne ich nicht.
Bisher kenne ich die Kummunikativ,-Assoziativgesetze sowie das Distributivgesetz. Die Existenz der Null und des Negativen sowie die Existenz der Eins und des Inversen.
Und weiter weiß ich, dass wenn diese Axiome erfüllt sind, es ein Körper ist.
Auch sind mir die Axiome der Anordnung bekannt.
Also die mir vorgetragene Definition der natürlichen Zahl lautet: n [mm] \in \IR [/mm] heißt natürliche Zahl, falls in jeder induktiven Teilmenge von [mm] \IR [/mm] enthalten ist.
Also weiß ich nicht genau, ob ich mmit dem Körper F2 argumentieren darf/kann ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:23 Di 04.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Julchen,
> Hallo Marcel,
>
> danke erstmal für die Antwort.
> also den Körper F2 kenne ich nicht.
> Bisher kenne ich die Kummunikativ,-Assoziativgesetze sowie
> das Distributivgesetz. Die Existenz der Null und des
> Negativen sowie die Existenz der Eins und des Inversen.
> Und weiter weiß ich, dass wenn diese Axiome erfüllt sind,
> es ein Körper ist.
> Auch sind mir die Axiome der Anordnung bekannt.
> Also die mir vorgetragene Definition der natürlichen Zahl
> lautet: n [mm]\in \IR[/mm] heißt natürliche Zahl, falls in jeder
> induktiven Teilmenge von [mm]\IR[/mm] enthalten ist.
>
> Also weiß ich nicht genau, ob ich mmit dem Körper F2
> argumentieren darf/kann ?
nein, das mit dem Körper [mm] $\IF_2$ [/mm] sollte Dir nur ein Beispiel geben, wo ein Körper zwar die obigen Axiome erfüllt (also $0 [mm] \in [/mm] M$ und $x [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] x+1 [mm] \in [/mm] M$), aber nur aus endlich vielen Elementen besteht. Soweit ich das allerdings sehe, spricht man von einer induktiven Menge sowieso allerdings nur, wenn sie Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] ist und das heißt auch, dass die Addition wie in [mm] $\IR$ [/mm] ablaufen muss. Und in [mm] $\IR$ [/mm] ist $1+1=2 [mm] \not=0\,.$ [/mm]
Und dabei spielen natürlich die Ordnungsaxiome schon eine etwas wichtigere Rolle, alleine schon, um einzusehen, dass [mm] $\IN$ [/mm] keine endliche Menge ist. Aber egal...
Nun gut: Du sollst nun zeigen: $n [mm] \in \IN$ $\Rightarrow$ [/mm] $n [mm] \in M\,.$ [/mm] Wie habt ihr denn nun den Begriff der induktiven Menge definiert? Denn mit der Definition, die ich kenne, ist $M$ ja gerade so definiert, dass $M$ eine induktive Menge ist (insbesondere ist ja $M [mm] \subseteq \IR$). [/mm] Ist dann $n [mm] \in \IN$, [/mm] so ist [mm] $\black{n}$ [/mm] insbesondere in jeder induktiven Menge und damit auch $n [mm] \in [/mm] M$, weil [mm] $\black{M}$ [/mm] induktiv ist.
Wenn ihr den Begriff der induktiven Menge allerdings etwas anders definiert habt, dann müßte man vll. erst zeigen, dass [mm] $\black{M}$ [/mm] auch wirklich eine induktive Menge ist. Ansonsten ist das ganze hier wirkliche ein Ein-/Zweizeiler ^^
gruß,
Marcel
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