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B-adisches System: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:16 Fr 23.05.2014
Autor: MissJule

Aufgabe
Seien B, k [mm] \in \IN, [/mm] B [mm] \ge [/mm] 2, k [mm] \ge [/mm] 1. Schreiben Sie die Zahlen
(a) [mm] \bruch{1}{B^{k}} [/mm]
(b) [mm] \bruch{1}{B^{k} - 1} [/mm]
(c) [mm] \bruch{1}{B^{k} + 1} [/mm]
(d) [mm] \bruch{1}{\summe_{i=0}^{k} B^{i}} [/mm]
im B-adischen System.
Hinweis: Ein Taschenrechner könnte nützlich zur Ideenfindung sein; für das Basteln eines Beweises könnten die geometrische Summe / Reihe von Nutzen sein. Oder Sie nutzen die geometrische Summe / Reihe direkt zum Finden eines Beweises.




Hallo,

ich stehe bei Aufgabenteil c an.

Was ich bereits habe:

Teil a) [mm] \bruch{1}{B^{k}} [/mm] ist in B-adischer Darstellung
0.0....01, wobei die 1 k Stellen rechts neben dem Komma steht, dies folgt direkt aus dem Bildungsgesetz der B-adischen Zahlen.

Teil b) Ideenfindung im Binärsystem:
[mm] \bruch{1}{2^{1} - 1} [/mm] = 1.0
[mm] \bruch{1}{2^{2} - 1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm]  = [mm] 0.\overline{01} [/mm]
[mm] \bruch{1}{2^{3} - 1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{7} [/mm]  = [mm] 0.\overline{001} [/mm]
usw.
Behauptung:  [mm] \bruch{1}{B^{k} - 1} [/mm] ist die Zahl, bei der jeweils die i * b-te Stelle nach dem Komma gleich 1 ist und alle anderen Stellen 0 sind, wobei i [mm] \in \IN [/mm] alle Werte von 1 bis unendlich annimmt.

Beweis:
Es gilt:
[mm] \bruch{1}{B^{k} - 1} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_{i} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{B})^{i} [/mm]
wobei [mm] a_{i} [/mm] = 1 für alle [mm] a_{i} [/mm] teilbar durch k gilt, für alle anderen [mm] a_{i} [/mm] ist B = 0

es folgt:

[mm] \bruch{1}{B^{k} - 1} [/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (\bruch{1}{B})^{k*i} [/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (\bruch{1}{B^{k}})^{i} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{B^{k}} \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{B^{k}})^{i-1} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{B^{k}} \summe_{i=0}^{\infty} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{B^{k}})^{i} [/mm]

mit der geometrischen Summenformel folgt:

[mm] \bruch{1}{B^{k} - 1} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{B^{k}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{1 - \bruch{1}{B^{k}}} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{B^{k}} [/mm] * [mm] \bruch{B^{k}}{B^{k} - 1} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{B^{k} - 1} [/mm]

Soweit so gut, hoffe das passt so in der Art.

Teil c) Da habe ich bis jetzt folgendes:
Ideenfindung im Binärsystem:
[mm] \bruch{1}{2^{1} + 1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm]  = [mm] 0.\overline{01} [/mm]
[mm] \bruch{1}{2^{2} + 1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5} [/mm]  = [mm] 0.\overline{0011} [/mm]
[mm] \bruch{1}{2^{3} + 1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{9} [/mm]  = [mm] 0.\overline{000111} [/mm]

Ich versuche zu beweisen:
Es gilt:
[mm] \bruch{1}{B^{k} + 1} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_{i} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{B})^{i} [/mm]
wobei [mm] a_{i} [/mm] = 1 für alle  [mm] a_{i} \in \{ i * ((k+1), ...., 2k) \}, [/mm] für alle anderen [mm] a_{i} [/mm] ist B = 0

Hier hätte ich die Gleichung:  [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (\bruch{1}{B})^{i* (k+1)} [/mm] + ... [mm] +\summe_{i=1}^{\infty} (\bruch{1}{B})^{i* (2k)} [/mm]

Jetzt stehe ich vor dem Problem, dass ich hier nicht sehe, wo ich die geometrische Reihe einsetzen kann, denn ich sollte jetzt wohl aus jeder einzelnen Summe [mm] (\bruch{1}{B})^{irgendwas} [/mm] herausheben, finde aber keine sinnvolle Möglichkeit, dies nicht in Abhängigkeit von i zu tun. Wobei: eventuell kann ich ja jede Summe für sich betrachten... hmm muss ich noch probieren.

Hat jemand einen Tipp für mich?

liebe Grüße,
MissJule

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
B-adisches System: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:10 Fr 23.05.2014
Autor: abakus


> Seien B, k [mm]\in \IN,[/mm] B [mm]\ge[/mm] 2, k [mm]\ge[/mm] 1. Schreiben Sie die
> Zahlen
> (a) [mm]\bruch{1}{B^{k}}[/mm]
> (b) [mm]\bruch{1}{B^{k} - 1}[/mm]
> (c) [mm]\bruch{1}{B^{k} + 1}[/mm]
> (d)
> [mm]\bruch{1}{\summe_{i=0}^{k} B^{i}}[/mm]
> im B-adischen System.
> Hinweis: Ein Taschenrechner könnte nützlich zur
> Ideenfindung sein; für das Basteln eines Beweises könnten
> die geometrische Summe / Reihe von Nutzen sein. Oder Sie
> nutzen die geometrische Summe / Reihe direkt zum Finden
> eines Beweises.

>
>
>

> Hallo,

>

> ich stehe bei Aufgabenteil c an.

>

> Was ich bereits habe:

>

> Teil a) [mm]\bruch{1}{B^{k}}[/mm] ist in B-adischer Darstellung
> 0.0....01, wobei die 1 k Stellen rechts neben dem Komma
> steht, dies folgt direkt aus dem Bildungsgesetz der
> B-adischen Zahlen.

>

> Teil b) Ideenfindung im Binärsystem:
> [mm]\bruch{1}{2^{1} - 1}[/mm] = 1.0
> [mm]\bruch{1}{2^{2} - 1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] = [mm]0.\overline{01}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2^{3} - 1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{7}[/mm] = [mm]0.\overline{001}[/mm]
> usw.
> Behauptung: [mm]\bruch{1}{B^{k} - 1}[/mm] ist die Zahl, bei der
> jeweils die i * b-te Stelle nach dem Komma gleich 1 ist und
> alle anderen Stellen 0 sind, wobei i [mm]\in \IN[/mm] alle Werte von
> 1 bis unendlich annimmt.

>

> Beweis:
> Es gilt:
> [mm]\bruch{1}{B^{k} - 1}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{\infty} a_{i}[/mm] *
> [mm](\bruch{1}{B})^{i}[/mm]
> wobei [mm]a_{i}[/mm] = 1 für alle [mm]a_{i}[/mm] teilbar durch k gilt, für
> alle anderen [mm]a_{i}[/mm] ist B = 0

>

> es folgt:

>

> [mm]\bruch{1}{B^{k} - 1}[/mm]
> = [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (\bruch{1}{B})^{k*i}[/mm]
> = [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (\bruch{1}{B^{k}})^{i}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{B^{k}} \summe_{i=1}^{\infty}[/mm] *
> [mm](\bruch{1}{B^{k}})^{i-1}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{B^{k}} \summe_{i=0}^{\infty}[/mm] *
> [mm](\bruch{1}{B^{k}})^{i}[/mm]

>

> mit der geometrischen Summenformel folgt:

>

> [mm]\bruch{1}{B^{k} - 1}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{B^{k}}[/mm] * [mm]\bruch{1}{1 - \bruch{1}{B^{k}}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{B^{k}}[/mm] * [mm]\bruch{B^{k}}{B^{k} - 1}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{B^{k} - 1}[/mm]

>

> Soweit so gut, hoffe das passt so in der Art.

>

> Teil c) Da habe ich bis jetzt folgendes:
> Ideenfindung im Binärsystem:
> [mm]\bruch{1}{2^{1} + 1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] = [mm]0.\overline{01}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2^{2} + 1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{5}[/mm] = [mm]0.\overline{0011}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2^{3} + 1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{9}[/mm] =
> [mm]0.\overline{000111}[/mm]

>

> Ich versuche zu beweisen:
> Es gilt:
> [mm]\bruch{1}{B^{k} + 1}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{\infty} a_{i}[/mm] *
> [mm](\bruch{1}{B})^{i}[/mm]
> wobei [mm]a_{i}[/mm] = 1 für alle [mm]a_{i} \in \{ i * ((k+1), ...., 2k) \},[/mm]
> für alle anderen [mm]a_{i}[/mm] ist B = 0

>

> Hier hätte ich die Gleichung: [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (\bruch{1}{B})^{i* (k+1)}[/mm]
> + ... [mm]+\summe_{i=1}^{\infty} (\bruch{1}{B})^{i* (2k)}[/mm]

>

> Jetzt stehe ich vor dem Problem, dass ich hier nicht sehe,
> wo ich die geometrische Reihe einsetzen kann, denn ich
> sollte jetzt wohl aus jeder einzelnen Summe
> [mm](\bruch{1}{B})^{irgendwas}[/mm] herausheben, finde aber keine
> sinnvolle Möglichkeit, dies nicht in Abhängigkeit von i
> zu tun. Wobei: eventuell kann ich ja jede Summe für sich
> betrachten... hmm muss ich noch probieren.

>

> Hat jemand einen Tipp für mich?

Hallo,
durch Erweitern erhält man [mm] \frac{1}{B^k+1}= \frac{B^k-1}{B^{2k}-1}=(B^k-1)\frac{1}{B^{2k}-1}[/mm].
Hilft das vielleicht?
(Bin mir selbst nicht sicher.)
Gruß Abakus
>

> liebe Grüße,
> MissJule

>

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Bezug
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