Bahn,Isotropiegruppe, Drehung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:30 Fr 30.10.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Die Gruppe SO(2)(special orthogonal group) operiere auf dem [mm] \mathbb{R}^2 [/mm] mittels (A,x) [mm] \mapsto [/mm] Ax. Bestimmen Sie die Bahnen und Isotropiegruppen für alle x [mm] \in \mathbb{R}^2. [/mm] |
Hallo
SO(2) = [mm] \{A \in O(2)| det(A)=1\}=\{\pmat{ a & b \\ -b& a }|a,b \in \mathbb{R} \wedge a^2+b^2=1\}
[/mm]
Mir ist klar, dass die definierte Verknüpfung eine Operation ist.
-) Bahn von x
ZZ.: [mm] B_x [/mm] = [mm] S_x(0):=\{y \in \mathbb{R}^2: |y|=|x|\} [/mm]
[mm] B_x :=\{Ax| A \in SO(2)\}=\{\vektor{ax_1+bx_2 \\ -bx_1+ax_2}|a,b \in \mathbb{R},a^2+b^2=1\}
[/mm]
Ich habe nachgerechnet: |Ax|=|x|
[mm] \Rightarrow [/mm] Ax [mm] \in S_x^1(0)\forall [/mm] A [mm] \in [/mm] SO(2).
Aber wie folgt die Umkehrung?
Sei y [mm] \in S_x^1(0), [/mm] so ist |y|=|x|. "Praktisch" ist es klar, dass die beiden Elemente mit gleichen Abstand zum Nullpunkt durch eine Rotation um einen Winkel [mm] \phi [/mm] ineinander übergeführt werden(mittels der Matrix [mm] \pmat{cos(\phi) & - sin(\phi)\\ sin(\phi) & cos(\phi) }) [/mm] können aber wie beweise ich das?
LG,
sissi
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Hallo,
Ein Tipp für die Bahn: Die [mm] $\IR$-Algebra $\IC$ [/mm] hat [mm] $\IR^2$ [/mm] als unterliegenden Vektorraum. Kennst du Polarkoordinaten? Der Rest sieht gut aus.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:45 Sa 31.10.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo
> Die $ [mm] \IR [/mm] $-Algebra $ [mm] \IC [/mm] $ hat $ [mm] \IR^2 [/mm] $ als unterliegenden Vektorraum.
Unterliegende Vektorraum??
Wir haben [mm] \mathbb{R}^2 [/mm] mit der Addition (x,y)+(u,v)=(x+u,y+v) und der Multiplikation (x,y)*(u,v)=(xu-yv,xv+yu) als Körper der die Gleichung [mm] z^2+1=0 [/mm] mit 2 Lösungen erfüllt eingeführt.
Der Körper [mm] (\mathbb{R}^2,+,*) [/mm] ist per Definition der Körper [mm] \mathbb{C} [/mm] der komplexen Zahlen. (x,y)=(x,0)+(0,1)*(y,0)=x+iy per Einbetttung und i:=(0,1).
Zur Aufgabe zurück:
Sei y [mm] \in S_x^1 [/mm] (0), so ist |y|=|x|.
Interpretiere [mm] \mathbb{R}^2 [/mm] als Körper der komplexen Zahlen.
[mm] y=r_1 e^{i\phi_1} [/mm] mit [mm] r_1\in \mathbb{R}_{\ge 0}, \phi_1 \in [0,2\pi)
[/mm]
[mm] x=r_2 e^{i \phi_2} [/mm] mit [mm] r_2\in \mathbb{R}_{\ge 0}, \phi_2 \in [0,2\pi)
[/mm]
Es folgt [mm] r_1=r_2 [/mm] d.h. x= [mm] r_1 e^{i \phi_2}, y=r_1 e^{i \phi_1}
[/mm]
O.B.d.A [mm] \phi_1 [/mm] < [mm] \phi_2
[/mm]
Es gilt: [mm] y*e^{i (\phi_2 - \phi_1)}=x
[/mm]
Ich würde nun gerne argumentieren, dass die beiden Punkte mit einer Drehung um den Winkel von [mm] \phi_2 [/mm] - [mm] \phi_1 [/mm] ineinander übergeführt werden können mittels der Matrix $ [mm] \pmat{cos(\phi_2 - \phi_1) & - sin(\phi_2 - \phi_1)\\ sin(\phi_2 - \phi_1) & cos(\phi_2 - \phi_1) }) [/mm] $, die offensichtlich in SO(2) liegt.
[mm] \pmat{cos(\phi_2 - \phi_1) & - sin(\phi_2 - \phi_1)\\ sin(\phi_2 - \phi_1) & cos(\phi_2 - \phi_1) } \vektor{y_1 \\ y_2} =\vektor{cos(\phi_2-\phi_1)y_1-sin(\phi_2-\phi_1)*y_2 \\ sin(\phi_2-\phi_1)y_1 + cos(\phi_2-\phi_1)y_2}
[/mm]
Wie erreiche ich nun damit [mm] =\vektor{x_1 \\ x_2}?
[/mm]
Das problem ist, dass ich da die beiden darstellungen "vermische".
LG,
sissi
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Wenn man von [mm] $\IC$ [/mm] redet und Multiplikation von komplexen Zahlen verwendet, und vielleicht auch noch Multiplikation von reellen Zahlen mit komplexen Zahlen, dann redet man von [mm] $\IC$ [/mm] als [mm] $\IR$-Algebra. [/mm] Als solche hat [mm] $\IC$ [/mm] eine unterliegende [mm] $\IR$-Vektorraum-Struktur [/mm] und hat eine ziemlich kanonische Basis, nämlich $1$ und $i$. Damit wird ein [mm] $\IR$-Vektorraum-Isomorphismus [/mm] zwischen dem unterliegenden Vektorraum von [mm] $\IC$ [/mm] und [mm] $\IR^2$ [/mm] induziert, welcher $a+bi$ mit [mm] $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ [/mm] identifiziert. Der Vektorraum [mm] $\IR^2$ [/mm] und die [mm] $\IR$-Algebra $\IC$ [/mm] sind keine identischen Objekte.
Es ist [mm] $e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$ [/mm] und außerdem [mm] $\begin{pmatrix}\cos\psi&-\sin\psi\\\sin\psi&\cos\psi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos(\psi+\varphi)\\\sin(\psi+\varphi)\end{pmatrix}$. [/mm] Wird damit alles klar?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:55 Sa 31.10.2015 | | Autor: | sissile |
Alles klar,danke für die Erklärungen!
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Sa 31.10.2015 | | Autor: | hippias |
Vielleicht noch eine andere Variante. Es geht darum $x$ auf $y$ abzubilden, wobei ich der Einfachheit halber $|x|=|y|=1$ setze.
Es sei $z$ ein zu $x$ orthogonaler Vektor der Länge $1$. Damit ist [mm] $\{x,z\}$ [/mm] eine ONB. Es sei $y= ax+bz$; beachte $1= |y|= [mm] a^{2}+b^{2}$. [/mm] Definiere nun lineare Abbildung [mm] $\phi$ [/mm] durch [mm] $x\mapsto [/mm] y$ und [mm] $z\mapsto [/mm] -bx+az$. Damit ist eine orthogonale Abbildung mit Determinante $=1$, die $x$ auf $y$ abbildet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Sa 31.10.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Den Weg verstehe ich noch nicht ganz.
Frage1: [mm] \{y,-bx+az\} [/mm] sollte doch auch eine Orthonormalbasis für [mm] \mathbb{R}^2 [/mm] sein?|y|=1 aber warum hat -bx+az Betrag 1?
Frage 2: Wie kommst du auf die Existenz von diesen [mm] \phi?
[/mm]
$ [mm] \pmat{ s & t \\ u& v }\cdot{}\vektor{x_1 \\ x_2}=\vektor{s\cdot{}x_1 +t\cdot{}x_2 \\ u\cdot{}x_1+v\cdot{}x_2}\overbrace{=}^{!} \vektor{a\cdot{}x_1+bz_1\\ ax_2+bz_2} [/mm] $
[mm] \pmat{ s & t \\ u& v }*\vektor{z_1 \\ z_2}= \vektor{s*z_1+t*z_2 \\ u*z_1+v*z_2}\overbrace{=}^{!}\vektor{-b*x_1+az_1\\ -bx_2+az_2}
[/mm]
LG,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:06 So 01.11.2015 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
> Den Weg verstehe ich noch nicht ganz.
> Frage1: [mm]\{y,-bx+az\}[/mm] sollte doch auch eine
> Orthonormalbasis für [mm]\mathbb{R}^2[/mm] sein?|y|=1 aber warum
> hat -bx+az Betrag 1?
Weil [mm] $a^{2}+b^{2}=1= [/mm] |x|=|z|$ und [mm] $x\perp [/mm] z$.
> Frage 2: Wie kommst du auf die Existenz von diesen [mm]\phi?[/mm]
Ist $x,z$ eine Basis und $u,v$ beliebige Vektoren, so gibt es immer eine lineare Abbildung, die $x$ auf $u$ und $z$ auf $v$ abbildet - das ist ein ganz elementares Argument: eine lin. Abbildung ist durch ihre Bilder auf einer Basis eindeutig bestimmt.
> [mm]\pmat{ s & t \\ u& v }\cdot{}\vektor{x_1 \\ x_2}=\vektor{s\cdot{}x_1 +t\cdot{}x_2 \\ u\cdot{}x_1+v\cdot{}x_2}\overbrace{=}^{!} \vektor{a\cdot{}x_1+bz_1\\ ax_2+bz_2}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ s & t \\ u& v }*\vektor{z_1 \\ z_2}= \vektor{s*z_1+t*z_2 \\ u*z_1+v*z_2}\overbrace{=}^{!}\vektor{-b*x_1+az_1\\ -bx_2+az_2}[/mm]
>
> LG,
> sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:43 So 01.11.2015 | | Autor: | hippias |
Addendum: Dass die Abbildung eine Isometrie ist, ergibt sich sofort daraus, dass sie eine ONB auf eine ONB abbildet; eine Tatsache, die sich ohne Mühe verifizieren lässt: z.B. [mm] $(ax+bz)\circ [/mm] (-bx+az)= [mm] -abx\circ x-b^{2}z\circ x+abz\circ z+a^{2}z\circ [/mm] x= -ab+ab=0$ etc.
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