Bahnen, Länge < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 So 10.01.2010 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | | Sei M eine transitive G-Menge, sei N [mm] \trianglelefteq [/mm] G und sei H die Standgruppe eines Elements von M. Dann zerfällt M in genau [G:NH] verschiedene N-Bahnen, von denen jede die Länge [N:N [mm] \cap [/mm] H] = [NH:H] hat. |
Hallo.
Den ersten Teil der Aufgabe habe ich schon. Ich habe gezeigt, dass jede transitive G-Menge von der Form G/H ist mit einer geeigneten Untergruppe H [mm] \le [/mm] G. Ich konnte dann auch zeigen, dass es genau [G:NH] verschiedene N-Bahnen gibt. Jetzt muss ich noch zeigen, welche Länge eine solche N-Bahn hat. Hier komme ich nicht weiter.
Nach Definition ist die Länge einer Bahn gleich dem Index des Stabilisators. Der Stabilisator ist definiert als [mm] G_x=\{g \in G: gx=g\} \le [/mm] G. Ist dann in diesem Fall der Stabilisator [mm] N_x? [/mm] Hat jemand einen Tipp für mich, wie ich vorgehen soll?
Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar,
moerni
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 So 10.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo moerni!
> Sei M eine transitive G-Menge, sei N [mm]\trianglelefteq[/mm] G und
> sei H die Standgruppe eines Elements von M. Dann zerfällt
Ist die Standgruppe gleich dem Stabilisator?
> M in genau [G:NH] verschiedene N-Bahnen, von denen jede die
> Länge [N:N [mm]\cap[/mm] H] = [NH:H] hat.
>
> Hallo.
> Den ersten Teil der Aufgabe habe ich schon. Ich habe
> gezeigt, dass jede transitive G-Menge von der Form G/H ist
> mit einer geeigneten Untergruppe H [mm]\le[/mm] G. Ich konnte dann
> auch zeigen, dass es genau [G:NH] verschiedene N-Bahnen
> gibt. Jetzt muss ich noch zeigen, welche Länge eine solche
> N-Bahn hat. Hier komme ich nicht weiter.
> Nach Definition ist die Länge einer Bahn gleich dem Index
> des Stabilisators. Der Stabilisator ist definiert als
> [mm]G_x=\{g \in G: gx=g\} \le[/mm] G. Ist dann in diesem Fall der
> Stabilisator [mm]N_x?[/mm] Hat jemand einen Tipp für mich, wie ich
> vorgehen soll?
Da die Menge transitiv ist, sind zwei Stabilisatoren zueinander konjugiert: ist $y = g x$, so kannst du eine Beziehung zwischen [mm] $G_x$ [/mm] und [mm] $G_y$ [/mm] mit Hilfe von Konjugation durch $g$ herstellen. Wie die genau aussieht, musst du jetzt selber bestimmen.
Daraus folgt dann, dass alle Bahnen gleichgross sind. Zur Laenge der Bahnen: es gilt doch $|M| = [mm] \sum_{v \in V} |N_v|$ [/mm] mit einem Vertretersystem $V$ der $N$-Bahnen. Hier ist [mm] $|N_v|$ [/mm] unabhaengig von $v$, und $|V| = [G : N H]$. Also folgt [mm] $|N_v| [/mm] = [mm] \frac{|M|}{[G : N H]}$. [/mm] Kommst du damit evtl. weiter?
LG Felix
|
|
|
|
