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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Bahnen auf R²
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Bahnen auf R²: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:03 Sa 23.11.2013
Autor: DrRiese

Aufgabe
Sei G = [mm] \{\pmat{ a & -b \\ b & a } | a,b \in \IR, a^{2}+b^{2} \not= 0 \}. [/mm]

Zeigen Sie, dass G eine Gruppe ist, die auf natürliche Art und Weise auf [mm] \IR^{2} [/mm] operiert. Beschreiben Sie die Bahnen von G.



Hallo :-)

Stecke leider ein wenig in dieser Aufgabe fest... :-(

i) G eine Gruppe?:

UO): G [mm] \not= \emptyset [/mm]
z.B. [mm] E_{2} \in [/mm] G [mm] \Rightarrow [/mm] G [mm] \not= \emptyset [/mm]

U1): a,b [mm] \in [/mm] G [mm] \Rightarrow [/mm] a*b [mm] \in [/mm] G:
Sei a= [mm] \pmat{ a & -b \\ b & a}, [/mm] b= [mm] \pmat{ c & -d \\ d & c} \Rightarrow [/mm] a*b= [mm] \pmat{ ac-bd & -(ad+cb) \\ ad+cb & ac-bd } [/mm]

z.z. [mm] (ac-bd)^{2}+(ad+cb)^{2} \not= [/mm] 0:
[mm] \Rightarrow (ac-bd)^{2}+(ad+cb)^{2}=a^{2}(c^{2}+d^{2})+b^{2}(c^{2}+d^{2}). [/mm]
Sei [mm] c^{2}+d^{2}:=k, \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow a^{2}k+b^{2}k. [/mm] Da [mm] a^{2}+b^{2} \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow a^{2}k+b^{2}k \not= [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] a*b [mm] \in [/mm] G

U2): a [mm] \in [/mm] G [mm] \Rightarrow a^{-1} \in [/mm] G:

Da weiss ich noch nicht richtig weiter. Da kommt bis jetzt nur Buchstabenwirrwarr heraus^^

[mm] \Rightarrow [/mm] (G,*) eine Gruppe

ii) Operation auf [mm] \IR^{2}: [/mm]
Sei f: G [mm] \times \IR^{2} \rightarrow \IR^{2}; [/mm] (a,x) [mm] \longmapsto [/mm] a*x:

01) (ab)x=a(bx), [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] G, x [mm] \in \IR^{2}: [/mm]

Seien a,b wie oben bei U1) und [mm] x=\vektor{x_{1} \\ x_{2}}: [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (ab)x= [mm] \pmat{ ac-bd & -(cb+ad) \\ cb+ad & ac-bd } \vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{ (ac-bd)x_{1}-(cb+ad)x_{2} \\ (cb+ad)x_{1}+(ac-bd)x_{2} }=\vektor{a(cx_{1}-dx_{2})-b(dx_{1}+cx_{2}) \\ b(cx_{1}-dx_{2})+a(dx_{1}+cx_{2})} [/mm] = [mm] \pmat{ a & -b \\ b & a }\vektor{ cx_{1}-dx_{2} \\ dx_{1}+cx_{2}} [/mm] = a(bx)

02) [mm] \exists [/mm] e [mm] \in [/mm] G: ex=x:

[mm] \pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}\vektor{x_{1} \\x_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1} \\x_{2}} [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] (G,*) operiert auf [mm] \IR^{2}, [/mm] denn es existiert eine Abbildung f: G [mm] \times \IR^{2} \rightarrow \IR^{2} [/mm] mit den Eigenschaften O1,O2

iii) Beschreibung  der Bahnen von G:

[mm] \pmat{a & -b \\ b & a}\vektor{x_{1} \\x_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{ax_{1}-bx_{2} \\ bx_{1}+ax_{2}}=\vektor{ax_{1} \\ ax_{2}}+\vektor{-bx_{2}\\bx_{1}} [/mm]

Die Bahnen sind Geraden durch den Ursprung, die [mm] \IR^{2} [/mm] vollständig abdecken.

Weiss nicht wirklich, was ich da großartig schreiben könnte.

Würde mich sehr freuen, wenn jemand eine Idee hat :-)

LG

        
Bezug
Bahnen auf R²: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:41 So 24.11.2013
Autor: DrRiese

Keiner 'ne Idee? :-(

Bezug
        
Bezug
Bahnen auf R²: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:00 Mo 25.11.2013
Autor: angela.h.b.


> Sei G = [mm]\{\pmat{ a & -b \\ b & a } | a,b \in \IR, a^{2}+b^{2} \not= 0 \}.[/mm]

>

> Zeigen Sie, dass G eine Gruppe ist, die auf natürliche Art
> und Weise auf [mm]\IR^{2}[/mm] operiert. Beschreiben Sie die Bahnen
> von G.

>
>
>
>

> U2): a [mm]\in[/mm] G [mm]\Rightarrow a^{-1} \in[/mm] G:

>

> Da weiss ich noch nicht richtig weiter. Da kommt bis jetzt
> nur Buchstabenwirrwarr heraus^^

Hallo,

da ich das Wirrwarr nicht sehe, ist es scher, etwas dazu zu sagen...
Wir können aber mal feststellen, daß die Elemente von G invertierbar sind (Determinante [mm] \not=0), [/mm]
und die Inversen von [mm] 2\times [/mm] 2-Matrizen sind doch wohlbekannt.

Hier:
[mm] \pmat{ a & -b \\ b & a } ^{-1}=\bruch{1}{a^2+b^2}\pmat{ a & b \\ -b & a }. [/mm]

Paßt.
>

> [mm]\Rightarrow[/mm] (G,*) eine Gruppe

>

> ii) Operation auf [mm]\IR^{2}:[/mm]
> Sei f: G [mm]\times \IR^{2} \rightarrow \IR^{2};[/mm] (a,x)
> [mm]\longmapsto[/mm] a*x:

> iii) Beschreibung der Bahnen von G:

>

> [mm]\pmat{a & -b \\ b & a}\vektor{x_{1} \\x_{2}}[/mm] =
> [mm]\vektor{ax_{1}-bx_{2} \\ bx_{1}+ax_{2}}=\vektor{ax_{1} \\ ax_{2}}+\vektor{-bx_{2}\\bx_{1}}[/mm]

>

> Die Bahnen sind Geraden durch den Ursprung, die [mm]\IR^{2}[/mm]
> vollständig abdecken.

Das sehe ich nicht.
Ich muß mich aber gerade auch etwas anstrengen, diese Bahnen-Geschichte sortiert zu bekommen in meinem Hirn, sie ist mir nicht sehr gegenwärtig. Aber da bisher niemand etwas gesagt hat, traue ich mich halt trotzdem mal...

[mm] Gx:=\{gx|g\in G} [/mm] ist doch die Bahn von x, also die Bahn für ein festes x.

Mit [mm] x:=\vektor{x_1\\x_2} [/mm] haben wir

[mm] Gx=\{a\vektor{x_1\\x_2}+b\vektor{-x_2\\x_1}| \vektor{a\\b}\in \IR^2\setminus\{\vektor{0\\0}\}\}. [/mm]

Bis hierher sind wir uns soweit einig.

Ich denke nun so:

Wenn [mm] \vektor{x_1\\x_2}\not=\vektor{0\\0}, [/mm] dann  sind [mm] \vektor{x_1\\x_2} [/mm] und [mm] \vektor{-x_2\\x_1} [/mm] linear unabhängig, und es ist
[mm] Gx=\IR^2\setminus \vektor{0\\0}. [/mm]

Ist [mm] x_1=0=x_2, [/mm] so haben wir

[mm] Gx=\{\vektor{0\\0}\}. [/mm]

Es gibt also meinem Verständnis nach nur zwei Bahnen, [mm] \IR^2\setminus \vektor{0\\0} [/mm] und [mm] \{\vektor{0\\0}\}. [/mm]

Falls ich mich täusche, bitte ich ausdrücklich um Belehrung!

LG Angela




>

> Weiss nicht wirklich, was ich da großartig schreiben
> könnte.

>

> Würde mich sehr freuen, wenn jemand eine Idee hat :-)

>

> LG


Bezug
                
Bezug
Bahnen auf R²: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:26 Di 26.11.2013
Autor: DrRiese

Hi, vielen Dank für die Antwort :-)

Viele Grüße,
DrRiese

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