Bahnen auf kart. Produkt best. < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Do 29.01.2015 | | Autor: | danooh |
| Aufgabe | Sei K ein Körper, V ein endlich-dimensionaler Vektorraum und G=GL(V) (die Gruppe aller invertierbaren linearen Abbildungen auf V).
T(V) bezeichne die Menge der Teilräume von V.
Was sind die Bahnen von G auf T(V) [mm] \times [/mm] T(V)? |
In einer vorangegangen Aufgabe habe ich die Bahnen von
G auf T(V) bestimmt - das war auch kein Problem.
Dieses kart. Produkt bereitet mir jedoch Schwierigkeiten:
Ang. X,Y [mm] \le [/mm] V mit dim(X)=n, dim(Y)=m.
Dann ex. Basis von X mit: [mm] B_{1}:=\{x_{1},...,x_{n}\}
[/mm]
und Basis von Y mit: [mm] B_{2}:=\{y_{1},...,y_{m}\}
[/mm]
Basis von X [mm] \cap [/mm] Y = [mm] \{x_{1},...,x_{k}\} [/mm] falls der Schnitt nicht leer ist.
Die Basis des Schnitts kann ich zu einer Basis von Y ergänzen, s.d.:
[mm] B'_{2}:=\{x_{1},...,x_{k},y'_{1},...,y'_{m-k}\}
[/mm]
Dann hat mein G doch die folgende Matrixform:
Oben links steht eine Permutationsmatrix
Oben rechts steht "irgendwas"
Unten links stehen 0en, falls X [mm] \cap [/mm] Y = [mm] \emptyset. [/mm] Sonst steht hier auch etwas.
Unten rechts steht eine Permutationsmatrix.
Irgendwie komme ich bzgl. der Bahnen welche unter der Operation entstehen nicht weiter...
Kann mir jemand helfen? Bin ich vllt. komplett auf dem Holzweg?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=552347],
aber dort noch keine Antwort erhalten.
Ich hoffe diese Aufgabe gemeinsam mit jemandem von euch lösen zu können :)
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Fr 30.01.2015 | | Autor: | hippias |
Du bist nicht auf dem Holzweg. Du hast also ein Paar Unterraeume $(X,Y)$ und linear unabhaengige Vektoren [mm] $d_{1},\ldots,d_{m}$, $x_{1},\ldots, x_{k}$ [/mm] und [mm] $y_{1},\ldots, y_{l}$, [/mm] sodass
1. [mm] $d_{1},\ldots,d_{m}$ [/mm] eine Basis von [mm] $X\cap [/mm] Y$ ist
2. [mm] $d_{1},\ldots,d_{m}, x_{1},\ldots, x_{k}$ [/mm] eine Basis von $X$ ist
3. [mm] $d_{1},\ldots,d_{m}, y_{1},\ldots, y_{l}$ [/mm] eine Basis von $Y$ ist
Fuer ein weiteres Paar $(X',Y')$ laesst sich eine analoge Konstruktion durchfuehren. Ueberlege Dir nun, unter welchen Umstaenden sich dies aufeinander abbilden laesst.
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