Bahnkurve < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Di 11.11.2014 | | Autor: | Jonas123 |
| Aufgabe | Betrachten Sie eine Schraubenlinie, die gegeben ist durch die folgende Raumkurve:
r(t) = [mm] Rcos(t)e_{x} [/mm] + [mm] Rsin(t)e_{y} [/mm] + [mm] bte_{z}
[/mm]
a) Berechnen Sie die Bogenlänge der Raumkurve.
b) Bestimmen Sie das begleitende Dreibein der Bahnkurve.
c) Bestimmen Sie die Krümmung und die Torsion der Bahnkurve.
d) Wie ändern sich Krümmung und Torsion, wenn man die Schraubenlinie auseinanderzieht, d.h. ein größeres b wählt? |
Zu a) ich weiß, dass ich die Bogenlänge mit der Formel
l= [mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{1+(f(x)')^2} dx}
[/mm]
berechnen kann. Hierzu muss ich r(t) ableiten, jedoch hier bin ich mir schon nicht mehr sicher wie ich das machen soll.
Ich glaube, dass es so funktioniert: [mm] r‘(t)=R*(-sin(t))*e_{x} [/mm] +R*cos(t)* [mm] e_{y} +b*1*e_{z} [/mm]
Bin mir aber nicht sicher.
Diese Ableitung muss ich dann in die Funktion für die Bogenlänge einsetzten, das Integral auflösen und fertig.
zu b) um das Dreibein zu bestimmen muss ich den
Tanentenvektor [mm] t=\bruch{r'}{|r'|}
[/mm]
Normalenvektor [mm] n=\bruch{r''}{|r''|}
[/mm]
Binormalenvektor b=t [mm] \times [/mm] n
sollte ich hinbekommen, wenn ich weiß ob meine Ableitung richtig ist, nochmal ableiten sollte kein Problem sein.
zu c) für die Krümmung muss ich Kappa ausrechen.
[mm] \kappa [/mm] = |{r''}|
Torsion: |Ableitung von Bionormalenvektor|
zu d) bei einer größeren Schraubenlinie wird die Krümmung kleiner.
Das wären meine Ideen/Lösungsstrategien zu der Aufgabe. Prinzipiell hänge ich an der Ableitung, die wahrscheinlich nicht richtig sein wird. Der Rest sollte klar sein und hoffentlich auch richtig, jedoch wäre es nett wenn du einmal darüberschauen könntest. In mancher Literatur steht dass man manchmal umparametrisieren muss, sollte jedoch hier nicht nötig sein.
Ich sage schon mal danke an alle die sich Zeit nehmen mir zu helfen.
Jonas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Jonas123,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Betrachten Sie eine Schraubenlinie, die gegeben ist durch
> die folgende Raumkurve:
> r(t) = [mm]Rcos(t)e_{x}[/mm] + [mm]Rsin(t)e_{y}[/mm] + [mm]bte_{z}[/mm]
>
> a) Berechnen Sie die Bogenlänge der Raumkurve.
>
> b) Bestimmen Sie das begleitende Dreibein der Bahnkurve.
>
> c) Bestimmen Sie die Krümmung und die Torsion der
> Bahnkurve.
>
> d) Wie ändern sich Krümmung und Torsion, wenn man die
> Schraubenlinie auseinanderzieht, d.h. ein größeres b
> wählt?
> Zu a) ich weiß, dass ich die Bogenlänge mit der Formel
>
> l= [mm]\integral_{a}^{b}{\wurzel{1+(f(x)')^2} dx}[/mm]
>
Mit dieser Formel ermittelst Du die Bogenlänge eines Funktionsgraphen.
> berechnen kann. Hierzu muss ich r(t) ableiten, jedoch hier
> bin ich mir schon nicht mehr sicher wie ich das machen
> soll.
Hier benötigst Du allerdings eine andere Formel.
> Ich glaube, dass es so funktioniert:
> [mm]r‘(t)=R*(-sin(t))*e_{x}[/mm] +R*cos(t)* [mm]e_{y} +b*1*e_{z}[/mm]
> Bin mir aber nicht sicher.
>
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jetzt bestimmst Du die Bogenlänge mit der Formel:
[mm]\integral_{t_{1}}^{t_{2}}{\wurzel{\dot{r\left(t\right)}\dot{r\left(t\right)}}} \ dt}[/mm]
Kurz gesagt:
Du integrierst über den Betrag der Ableitung von r nach t.
> Diese Ableitung muss ich dann in die Funktion für die
> Bogenlänge einsetzten, das Integral auflösen und fertig.
>
> zu b) um das Dreibein zu bestimmen muss ich den
> Tanentenvektor [mm]t=\bruch{r'}{|r'|}[/mm]
> Normalenvektor [mm]n=\bruch{r''}{|r''|}[/mm]
> Binormalenvektor b=t [mm]\times[/mm] n
>
> sollte ich hinbekommen, wenn ich weiß ob meine Ableitung
> richtig ist, nochmal ableiten sollte kein Problem sein.
>
> zu c) für die Krümmung muss ich Kappa ausrechen.
> [mm]\kappa[/mm] = |{r''}|
>
> Torsion: |Ableitung von Bionormalenvektor|
>
Siehe dazu: ![[]](/images/popup.gif) Frenetsche Formeln in Abhängigkeit von anderen Parametern.
> zu d) bei einer größeren Schraubenlinie wird die
> Krümmung kleiner.
>
> Das wären meine Ideen/Lösungsstrategien zu der Aufgabe.
> Prinzipiell hänge ich an der Ableitung, die wahrscheinlich
> nicht richtig sein wird. Der Rest sollte klar sein und
> hoffentlich auch richtig, jedoch wäre es nett wenn du
> einmal darüberschauen könntest. In mancher Literatur
> steht dass man manchmal umparametrisieren muss, sollte
> jedoch hier nicht nötig sein.
>
> Ich sage schon mal danke an alle die sich Zeit nehmen mir
> zu helfen.
>
> Jonas
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Di 11.11.2014 | | Autor: | Jonas123 |
Vielen Dank für deine schnelle Hilfe, jetzt ist die Aufgabe klar und es bleibt nur noch die Rechenarbeit zu tun. Ist in diesem Fall leider sehr viel, aber nun gut.
Wünsche dir noch einen schönen Tag und bis zu meiner nächsten Frage.
Jonas
|
|
|
|
