Baker-Campbell-Hausdorff-F. < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen Sie, daß für kleines $| x | [mm] \ll [/mm] 1$ die folgende Relation für die Funktionen der beiden $n [mm] \times [/mm] n$ Matrizen $M$ und $N$ gilt:
[mm] $\exp(xM) \exp(xN) [/mm] = [mm] \exp\left(x(M + N) + \frac{x^2}{2}[M, N]\right) +\mathcal{O}(x^3)$ [/mm] ,
wobei $[M, N] = MN - NM$ den Kommutator bezeichnet.
Die allgemeine Baker-Campbell-Hausdorff Formel lautet:
[mm] $e^ABe^{-A} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} B_n$ [/mm] ,
wobei [mm] $B_n [/mm] = [A, [mm] B_{n-1} [/mm] ]$ und [mm] $B_0 [/mm] = B$. Zeigen Sie, dass aus dieser die obige Gleichung folgt. |
Hallo schon wieder,
ich komme leider bei der obigen Aufgabe überhaupt nicht weiter und bräuchte deswegen einen Tipp, wie das Ganze überhaupt anzufangen ist. Ich habe es schon mit einer Taylorentwicklung der linken Seite versucht, aber das hat irgendwie zu nichts geführt und hätte wohl auch den Hinweis nicht genutzt. Das was ich zu ähnlichen Problemen im Internet gefunden habe war auch immer nur für kommutierende Matrizen, es wurde die Logarithmusfunktion genutzt (nicht bekannt für Matrizen) oder es wurden zu viele Vorkenntnisse vorausgesetzt (Lie-Algebra, etc.), und hat mir deshalb auch nicht weitergeholfen.
Könnt ihr mir hier mit einem Ansatz aushelfen? Ich weiß nämlich auch gar nicht, wie ich den Hinweis nutzen soll, und die zu beweisende Gleichung groß umstellen habe ich auch nicht hinbekommen, da ich in diesem Fall nicht weiß, wie vernünftig mit dem Landau-O umzugehen ist.
Vorkenntnisse in diesem Bereich Lie-Algebra oder Ähnliches sind übrigens keine vorhanden...
|
|
| |
|
Hat denn keiner eine Idee?
Wie ist denn überhaupt [mm] $\exp(xM) \exp(xN) [/mm] = [mm] \exp\left(x(M + N) + \frac{x^2}{2}[M, N]\right) +\mathcal{O}(x^3)$ [/mm] zu verstehen? Das ist doch eigentlich eine Abschätzung, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 15.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Di 14.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
