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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Mo 01.08.2016 | | Autor: | phifre |
| Aufgabe | | Warum ist [mm] $B_\varepsilon(x)\backslash \overline{B_\delta(x)}$ [/mm] offen? |
Hallo!
Ich bin über diese theoretische Frage gestolpert und weiß leider nicht, wie ich an sie rangehen soll.
Gibt es bessere Möglichkeiten als zu zeigen, dass es um jeden Punkt noch eine offene Umgebung gibt?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 Mo 01.08.2016 | | Autor: | huddel |
ich hoffe mal, dir ist etwas topologie bekannt:
Eine Teilmenge $A$ eines topologischen Raums $X$ ist genau dann abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist (per Definition) und weiter gilt für zwei Mengen $A,B [mm] \subset [/mm] X$:
[mm] $A\setminus [/mm] B = [mm] A\cap B^c$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow A\setminus\overline{B}$ [/mm] = [mm] A\cap \overline{B}^c$
[/mm]
nun ist aber [mm] $\overline{B}^c$ [/mm] per Definition offen und wenn $A$ offen ist, haben wir einen endlichen schnitt offener Mengen, was wieder offen ist.
Nun ist [mm] $B_\varepsilon(x)$ [/mm] offen [mm] $\overline{B_\delta(x)}$ [/mm] Abgeschlossen.
Damit folgt die Behauptung.
Wenn dir das alle nichts sagt, fällt mir auch nichts anderes ein, als es mit offenen Umgebungen zu machen...
LG
Huddel :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Mo 01.08.2016 | | Autor: | phifre |
Wunderbar! :)
Ja das gefällt mir gut, sagt mir alles was.
Liebe Grüße
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