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| Aufgabe | (Punktweise Konvergenz in L (X,Y) ).
Sei X Banach Raum, Y normierter Raum. Für [mm] (T_{n})_{n} \subset [/mm] L(X,Y) existiere Tx := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} T_{n}x [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] X.
Außerdem sei [mm] ||T_{n}||_{L(X,Y)} [/mm] gleichmäßig in n beschränkt. Zeigen sie:
a.) T [mm] \in [/mm] L (X,Y) mit [mm] ||T||_{L(X,Y)} \le [/mm] lim [mm] inf_{n \to \infty} ||T_{n}||_{L(X,Y)} [/mm] .
b.) [mm] ||T-T_{n}||_{L(X,Y)} \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty [/mm] kann in der Regel nicht erwartet werden. Tipp: Betrachten Sie:
[mm] T_{n} [/mm] x := [mm] (x_{1},..., x_{n},0, [/mm] ...) auf [mm] l^{2} [/mm] (K) |
Hallo!
Ich beschäftige mich momentan mit dieser Aufgabe und hoffe, dass ihr mir behilflich sein könntet:
Zu Teilaufgabe a.) habe ich leider überhaupt keine Idee. Wie kann ich da vorgehen?
Bei Teilaufgabe b.) dachte ich an Folgendes:
[mm] ||T-T_{n}||_{L(X,Y)} \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty [/mm] kann in der Regel für negative x nicht erwartet werden, da dann nicht der Abstand zum Grenzwert sondern vielmehr die Summe von Grenzwert und dem Funktionswert betrachtet wird. Diese muss nicht gegen Null gehen, wenn nicht [mm] T_{n} [/mm] x Nullfolge ist.
Ist das richtig?
Über Antworten würde ich mich sehr freuen,
Viele Grüße,
mathehase
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi,
die Operatornorm ist ja definiert als [mm] ||T||_{L(X,Y)}=\sup_{||x||_{X}=1}||Tx||_{Y}.
[/mm]
Von Tx weißt du aber, dass es der Grenzwert ist und für jedes [mm] n\in\IN [/mm] gilt [mm] ||T_{n}x||_{Y}\le ||T_{n}||*||x||_{X}. [/mm] Diesen Ausdruck kannst du jetzt abschätzen. Du brauchst noch [mm] \limes T_{n}x=\limes [/mm] inf [mm] T_{n}x.
[/mm]
Bei der b) soll [mm] T_{n} [/mm] den Operator bezeichnen, der eine Folge ab dem n-ten Folgeglied abschneidet. Das heißt für jede Folge x gilt [mm] T_{x}\to [/mm] x, also wäre T hier die Identität. Aber man hat keine gleichmäßige Konvergenz, da
[mm] \sup_{||x||_{2}=1}||x-T_{n}x||_{2}=1
[/mm]
für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt, es existiert ein [mm] x_{n} [/mm] mit [mm] ||x_{n}-T_{n}x_{n}||_{2}=1 [/mm] (ist nicht schwer zu finden).
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Guten Abend,
vielen Dank für die Antwort. Aber ich muss nochmal fragen.
> die Operatornorm ist ja definiert als
> [mm]||T||_{L(X,Y)}=\sup_{||x||_{X}=1}||Tx||_{Y}.[/mm]
> Von Tx weißt du aber, dass es der Grenzwert ist und für
> jedes [mm]n\in\IN[/mm] gilt [mm]||T_{n}x||_{Y}\le ||T_{n}||*||x||_{X}.[/mm]
> Diesen Ausdruck kannst du jetzt abschätzen. Du brauchst
> noch [mm]\limes T_{n}x=\limes[/mm] inf [mm]T_{n}x.[/mm]
Ich habe versucht das so als "Kette" hinzuschreiben, komme aber an zwei stellen nicht weiter:
[mm] ||T||_{L(X,Y)}=sup||Tx||_Y [/mm] =?=lim [mm] inf||T_nx||_Y \le [/mm] lim inf [mm] ||T_n||_{L(X,Y)}||x||_X [/mm] (<-- da [mm] ||x||_X=1) [/mm] =?= Tx=lim T_nx=lim inf T_nx
ich weiß, dass das nicht viel ist, aber ich habe da einfach keine neuen ideen bekommen und komme da also immer noch nicht weiter .
> Bei der b) soll [mm]T_{n}[/mm] den Operator bezeichnen, der eine
> Folge ab dem n-ten Folgeglied abschneidet. Das heißt für
> jede Folge x gilt [mm]T_{x}\to[/mm] x, also wäre T hier die
> Identität. Aber man hat keine gleichmäßige Konvergenz,
> da
> [mm]\sup_{||x||_{2}=1}||x-T_{n}x||_{2}=1[/mm]
> für alle [mm]n\in\IN[/mm] gilt, es existiert ein [mm]x_{n}[/mm] mit
> [mm]||x_{n}-T_{n}x_{n}||_{2}=1[/mm] (ist nicht schwer zu finden).
das verstehe ich nicht, warum gilt das? kann mir da bitte noch mal jemand helfen?
Vielen lieben Dank.
Mathehase
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:05 So 15.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Jetzt machen wirs mal richtig:
$ [mm] (||T_{n}||) [/mm] $ ist gleichmäßig in n beschränkt. D.h.: es gibt ein c [mm] \ge [/mm] 0 mit
[mm] ||T_n|| \le [/mm] c für jedes n.
Für x [mm] \in [/mm] X ist dann
$ ||T_nx|| [mm] \le [/mm] c||x||$ für jedes n [mm] \in \IN [/mm] und jedes x [mm] \in [/mm] X
Mit n [mm] \to \infty [/mm] bekommt man:
||Tx|| [mm] \le [/mm] c||x|| für jedes x [mm] \in [/mm] X
Damit ist T $ [mm] \in [/mm] $ L (X,Y) und ||T|| [mm] \le [/mm] c.
c war eine beliebige obere Schranke von [mm] (||T_n||), [/mm] daher gilt:
$ ||T|| [mm] \le [/mm] $ lim $ [mm] inf_{n \to \infty} ||T_{n}|| [/mm] $
Zu b):
Die Folge [mm] (T_n) [/mm] konv. punktweise gegen die Identität I auf [mm] l^2(K), [/mm] also T=I
Zeige: [mm] ||T_n-T||=1 [/mm] für jedes n.
FRED
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Guten Morgen!
> Jetzt machen wirs mal richtig:
>
> [mm](||T_{n}||)[/mm] ist gleichmäßig in n beschränkt. D.h.: es
> gibt ein c [mm]\ge[/mm] 0 mit
ach das heißt gleichmäßig beschränkt (ich werde mich wohl mal nach einem anderen buch umsehen müssen, wo das auch drinsteht, so geht das ja mal nicht weiter... --> hat jemand einen tipp??)
> [mm]||T_n|| \le[/mm] c für jedes n.
>
> Für x [mm]\in[/mm] X ist dann
>
> [mm]||T_nx|| \le c||x||[/mm] für jedes n [mm]\in \IN[/mm] und jedes x [mm]\in[/mm]
> X
warum gilt das? also warum darf ich das x so "ergänzen"?
> Mit n [mm]\to \infty[/mm] bekommt man:
>
> ||Tx|| [mm]\le[/mm] c||x|| für jedes x [mm]\in[/mm] X
>
> Damit ist T [mm]\in[/mm] L (X,Y) und ||T|| [mm]\le[/mm] c.
in L (X,Y) sind ja alle linearen und stetigen Abbildungen. Ist nun T [mm] \in [/mm] L (X,Y), weil c||x|| stetig ist und linear, weil c||x|| wie eine lineare Abbildung aussieht? Ich habe da keine passenden definitionen, bzw. zur linearität nur das was ich bei wikipedia gefunden habe. Ist es also linear, weil c||x|| die 2 Axiome für linearität (Homogenität und Additivität) erfüllt??
> c war eine beliebige obere Schranke von [mm](||T_n||),[/mm] daher
> gilt:
>
> [mm]||T|| \le[/mm] lim [mm]inf_{n \to \infty} ||T_{n}||[/mm]
lim [mm] inf_{n \to \infty} ||T_{n}|| \le [/mm] c
und
||T|| [mm] \le [/mm] c
verstehe ich, aber wieso kann ich dann auf
||T|| [mm] \le [/mm] lim [mm] inf_{n \to \infty} ||T_{n}||
[/mm]
schließen?
> Zu b):
>
> Die Folge [mm](T_n)[/mm] konv. punktweise gegen die Identität I auf
> [mm]l^2(K),[/mm] also T=I
>
> Zeige: [mm]||T_n-T||=1[/mm] für jedes n.
aber wenn [mm] T_n [/mm] gegen T konvergiert, warum sollte dann [mm] ||T_n-T||=1 [/mm] sein?
vielen dank für die hilfe
mathehase
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Das verstehe ich nicht so ganz...
Ich habe doch gar keine Zahlen gegeben und wenn Tn --> T konvergiert dann geht doch ||Tn-T|| gegen 0.
Ich weiß ehrlich gesagt nicht, was ich einsetzten soll, bisher habe ich immer mit Funktionen gerechnet, wo ich "Zahlen" o.ä. hatte, die angegeben waren.
Des Weiteren hatte ich die Idee, das ganze mittels Indukion zu zeigen, allerdings gelingt mir da einfach kein Anfang.
LG
mathehase
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 21.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Di 17.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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