Banach'scher Fixpunktsatz < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geben Sie Beispiele zu folgenden Situationen(M,d) ist immer ein metrischer
Raum [mm] M\not=\emptyset
[/mm]
(a) M ist vollständig, A ⊆ M ist eine Teilmenge, T: A → A ist eine Kontraktion,
aber T hat keinen Fixpunkt.
(b) M ist vollständig, A ⊆ M ist eine abgeschlossene Teilmenge, T: A → M ist eine Kontraktion, aber T hat keinen Fixpunkt.
(c)M ist vollständig, A ⊆ M ist eine abgeschlossene Teilmenge, T: A → A erfüllt d(T(x),T(y)) ≤ d(x,y) fur alle x,y ∈ M,
aber T hat keinen Fixpunkt |
Hallo,
Die Begriffe vollständig, abgeschlossen sind mir klar, nur leider fällt mir überhaupt kein Beispiel ein. Für eine kleine Starthilfe würde ich mich freuen.
mfg zahlenfreund
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:03 Do 02.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Geben Sie Beispiele zu folgenden Situationen(M,d) ist immer
> ein metrischer
> Raum [mm]M\not=\emptyset[/mm]
> (a) M ist vollständig, A ⊆ M ist eine Teilmenge, T: A
> → A ist eine Kontraktion,
> aber T hat keinen Fixpunkt.
> (b) M ist vollständig, A ⊆ M ist eine abgeschlossene
> Teilmenge, T: A → M ist eine Kontraktion, aber T hat
> keinen Fixpunkt.
> (c)M ist vollständig, A ⊆ M ist eine abgeschlossene
> Teilmenge, T: A → A erfüllt d(T(x),T(y)) ≤ d(x,y) fur
> alle x,y ∈ M,
> aber T hat keinen Fixpunkt
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> Hallo,
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> Die Begriffe vollständig, abgeschlossen sind mir klar, nur
> leider fällt mir überhaupt kein Beispiel ein. Für eine
> kleine Starthilfe würde ich mich freuen.
>
> mfg zahlenfreund
Die Aufgabe soll zeigen, dass keine der Voraussetzungen im Banachschen Fixpunktsatz weggelassen werden darf.
Bei a) ist gesucht: M vollständig, A [mm] \subseteq [/mm] M ist eine Teilmenge von M und T: A [mm] \to [/mm] A eine Kontraktion ohne Fixpunkt. A darf also nicht abgeschlossen sein !
Bei b) musst Du T so finden, dass T(A) [mm] \subseteq [/mm] A nicht erfüllt ist.
Welche Vor. bei c) nicht erfüllt ist, dürfte klar sein.
Also sind angesagt: Basteln, Probieren, auf die Schnauze fallen, weiter Basteln, ....
FRED
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