Banachräume und Kompaktheit < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hi,
ich bin bei dem Satz von Arzela-Ascoli auf folgende Formulierung gestoßen...
Sei (S,d) ein kompakter metrischer Raum, ...
Nun wundere ich mich. Da Kompaktheit so definiert ist, dass jede Folge in einer kompakten Menge zumindest eine Teilfolge besitzt, die gegen ein Element derselben Menge konvergiert denke ich, dass ein kompakter metrischer Raum eigentlich auch vollständig sein müsste.
Vollständigkeit ist ja die Eigenschaft, dass jede Cauchy-Folge einer Menge einen Grenzwert in derselben Menge besitzt.
Offenbar gilt die Äquivalenz von Kompaktheit und Vollständigkeit nicht, sonst wäre (S,d) gleich Banachraum bezeichnet worden. Kann mir jemand ein Beispiel eines metrischen Raumes nennen, der zwar kompakt aber nicht vollständig ist, bzw. der vollständig aber nicht kompakt ist.
Ist eine der beiden Eigenschaften etwa eine schärfere Bedingung als die vorherige?
Grüße und danke schon mal
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:34 So 24.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi,
>
> ich bin bei dem Satz von Arzela-Ascoli auf folgende
> Formulierung gestoßen...
> Sei (S,d) ein kompakter metrischer Raum, ...
>
> Nun wundere ich mich. Da Kompaktheit so definiert ist, dass
> jede Folge in einer kompakten Menge zumindest eine
> Teilfolge besitzt, die gegen ein Element derselben Menge
> konvergiert denke ich, dass ein kompakter metrischer Raum
> eigentlich auch vollständig sein müsste.
Da hast du auch recht: ein kompakter metrischer Raum ist vollständig, sieh zum Beispiel ![[]](/images/popup.gif) hier.
> Vollständigkeit ist ja die Eigenschaft, dass jede
> Cauchy-Folge einer Menge einen Grenzwert in derselben Menge
> besitzt.
>
> Offenbar gilt die Äquivalenz von Kompaktheit und
> Vollständigkeit nicht, sonst wäre (S,d) gleich Banachraum
> bezeichnet worden.
Da wirfst du metrisch und normiert durcheinander. Jeder Banachraum ist ein vollständiger normierter Raum und damit ein Spezialfall eines metrischen Raumes. Ein metrischer Raum muss keine Norm haben.
Ein Bespiel ist die berühmte Metrik
[mm] d(x,y) = \begin{cases} 1 & \text{für $x\not=y$} \\ 0 & \text{für $x=y$} \end{cases}[/mm] ,
die nicht durch eine Norm erzeugt werden kann.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Hi,
> Hi,
>
> ich bin bei dem Satz von Arzela-Ascoli auf folgende
> Formulierung gestoßen...
> Sei (S,d) ein kompakter metrischer Raum, ...
>
> Nun wundere ich mich. Da Kompaktheit so definiert ist, dass
> jede Folge in einer kompakten Menge zumindest eine
> Teilfolge besitzt, die gegen ein Element derselben Menge
> konvergiert denke ich, dass ein kompakter metrischer Raum
> eigentlich auch vollständig sein müsste.
> Vollständigkeit ist ja die Eigenschaft, dass jede
> Cauchy-Folge einer Menge einen Grenzwert in derselben Menge
> besitzt.
>
> Offenbar gilt die Äquivalenz von Kompaktheit und
> Vollständigkeit nicht, sonst wäre (S,d) gleich Banachraum
> bezeichnet worden. Kann mir jemand ein Beispiel eines
> metrischen Raumes nennen, der zwar kompakt aber nicht
> vollständig ist, bzw. der vollständig aber nicht kompakt
> ist.
> Ist eine der beiden Eigenschaften etwa eine schärfere
> Bedingung als die vorherige?
>
eine kleine ergaenzung noch zu rainer's antwort: Kompaktheit ist natuerlich eine schaerfere bedingung als vollstaendigkeit. Im allgemeinen sind banachraeume (also vollstaendige, normierte raeume) weit davon entfernt kompakt zu sein. Deshalb braucht man ja solche saetze wie arzela-ascoli (in [mm] $C^0$) [/mm] oder Frechet-Kolmogorov (in [mm] $L^p$) [/mm] um kompakte teilmengen zu charakterisieren.
Da diese anforderungen sehr restriktiv sind, macht man spaeter noch aussagen ueber schwache kompaktheit, also kompaktheit bezueglich der schwachen topologie.
gruss
matthias
|
|
|
|
