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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Johie |
| Aufgabe | | Ist E ein Banachraum, so ist A:= L(E,E) bekanntlich ebenfalls ein Banachraum mit der Norm [mm] \parallel \varphi \parallel [/mm] = [mm] \sup_{\parallel x \parallel\le\{1}} \parallel \varphi [/mm] (x) [mm] \parallel [/mm] . Man zeige: Sind [mm] \varphi [/mm] , [mm] \psi \in [/mm] A , so ist [mm] \parallel \varphi \circ \psi \parallel \le \parallel \varphi \parallel \parallel \psi \parallel [/mm] . |
Ich habe hier jetzt schon einen kleinen Ansatz, bin mir aber nicht sicher, ob dieser stimmt und bitte deshalb um eine eventuelle Verbesserung!
[mm] \parallel \varphi \circ \psi \parallel [/mm] = [mm] \sup_{\parallel x \parallel\le\{1}} \parallel \varphi (\psi(x)) \parallel
[/mm]
[mm] \le \sup_{\parallel x \parallel\le\{1}} \parallel \varphi \parallel \parallel \psi(x) \parallel [/mm]
[mm] \le \sup_{\parallel x \parallel\le\{1}} \parallel \varphi \parallel \parallel \psi \parallel \parallel x\parallel
[/mm]
= [mm] \parallel \varphi \parallel \parallel \psi \parallel
[/mm]
[mm] \varphi [/mm] beschränkt [mm] \gdw \exists [/mm] c [mm] \in \IR^+ [/mm] : [mm] \parallel \varphi(x) \parallel \le [/mm] c * [mm] \parallel x\parallel
[/mm]
[mm] \parallel \varphi \parallel [/mm] := [mm] \inf_{\parallel x \parallel =\{1}} [/mm] c
Ich hoffe, dass man die Rechnung so nachvollziehen kann. Ich bitte euch nun darum, dass ihr das mal Korrektur lest und mich auf mögliche Fehler hinweist!
Mit freundlichen Grüßen Johie
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Hi,
> Ist E ein Banachraum, so ist A:= L(E,E) bekanntlich
> ebenfalls ein Banachraum mit der Norm [mm]\parallel \varphi \parallel[/mm]
> = [mm]\sup_{\parallel x \parallel\le\{1}} \parallel \varphi[/mm] (x)
> [mm]\parallel[/mm] . Man zeige: Sind [mm]\varphi[/mm] , [mm]\psi \in[/mm] A , so ist
> [mm]\parallel \varphi \circ \psi \parallel \le \parallel \varphi \parallel \parallel \psi \parallel[/mm]
> .
> Ich habe hier jetzt schon einen kleinen Ansatz, bin mir
> aber nicht sicher, ob dieser stimmt und bitte deshalb um
> eine eventuelle Verbesserung!
>
> [mm]\parallel \varphi \circ \psi \parallel[/mm] = [mm]\sup_{\parallel x \parallel\le\{1}} \parallel \varphi (\psi(x)) \parallel[/mm]
>
> [mm]\le \sup_{\parallel x \parallel\le\{1}} \parallel \varphi \parallel \parallel \psi(x) \parallel[/mm]
> [mm]\le \sup_{\parallel x \parallel\le\{1}} \parallel \varphi \parallel \parallel \psi \parallel \parallel x\parallel[/mm]
>
> = [mm]\parallel \varphi \parallel \parallel \psi \parallel[/mm]
>
> [mm]\varphi[/mm] beschränkt [mm]\gdw \exists[/mm] c [mm]\in \IR^+[/mm] : [mm]\parallel \varphi(x) \parallel \le[/mm]
> c * [mm]\parallel x\parallel[/mm]
> [mm]\parallel \varphi \parallel[/mm] :=
> [mm]\inf_{\parallel x \parallel =\{1}}[/mm] c
>
> Ich hoffe, dass man die Rechnung so nachvollziehen kann.
> Ich bitte euch nun darum, dass ihr das mal Korrektur lest
> und mich auf mögliche Fehler hinweist!
>
> Mit freundlichen Grüßen Johie
von mir als altem funktionalanalytiker gibts dafuer ein ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") . Mal im ernst: das sieht richtig aus. 
gruss
matthias
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