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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
zur ![[]](/images/popup.gif) Übung (G1) habe ich folgende Frage:
Um zu zeigen, dass [mm] C^{1}[a,b] [/mm] kein Banachraum ist, muss man zeigen, dass es eine Cauchy-Folge gibt, die nicht in [mm] C^{1}[a,b] [/mm] konvergiert.
Kann mir jemand einen Tipp geben , worauf ich bei der Konstruktion dieser Cauchy-Folge am besten achten soll ?
MfG
Igor
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> zur
> Übung
> (G1) habe ich folgende Frage:
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> Um zu zeigen, dass [mm]C^{1}[a,b][/mm] kein Banachraum ist, muss man
> zeigen, dass es eine Cauchy-Folge gibt, die nicht in
> [mm]C^{1}[a,b][/mm] konvergiert.
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> Kann mir jemand einen Tipp geben , worauf ich bei der
> Konstruktion dieser Cauchy-Folge am besten achten soll ?
dort steht ja, dass [mm] $C^1[a,b]$ [/mm] "versehen mit der Supremumsnorm" kein Banachraum ist.
Und weil [mm] $(C[a,b],||.||_\infty)$ [/mm] aber ein Banachraum ist, werden wir wohl eine Funktionenfolge angeben müssen, die in [mm] $C^1[a,b]$ [/mm] ist und deren (in notwendiger Weise stetige) Grenzfunktion aber (an wenigstens einer Stelle) nicht diff'bar ist.
Naheliegend für eine solche Grenzfunktion:
$f(x)=|x|$ ist an [mm] $x_0=0$ [/mm] nicht diff'bar.
Zu der Funktionenfolge:
O.E. kannst Du z.B. $[a,b]=[-1,1]$ annehmen (ansonsten betrachte die Bijektion $t: [a,b] [mm] \to [/mm] [-1,1]$ mit [mm] $t(x)=2*\frac{1}{b-a}x-\frac{a+b}{b-a}$).
[/mm]
Nun:
Betrachte [mm] $f_n(x)=\sqrt{x^2+\frac{1}{n}}$ [/mm] $(x [mm] \in [/mm] [-1,1])$
(Genausogut sollte es allgemeiner möglich sein:
Sind alle [mm] $a_n [/mm] > 0$ und gilt [mm] $a_n \to [/mm] 0$, so betrachte:
[mm] $f_n(x)=\sqrt{x^2+a_n}$. [/mm] Ich habe nur schon speziell [mm] $a_n=\frac{1}{n}$ [/mm] benutzt.)
Das sind alles [mm] $C^1[-1,1]$-Funktionen [/mm] (Du musst hier noch nachrechnen bzw. besser: begründen, dass jedes [mm] $f_n$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] auch diff'bar ist.)
Sie konvergieren gleichmäßig gegen [mm] $f(x)=\sqrt{x^2}=|x|$ [/mm] auf $[-1,1]$.
(Bei dem Beweis dazu kann man z.B. ausnutzen, dass [mm] $\sqrt{r+s} \le \sqrt{r}+\sqrt{s}$ [/mm] für alle $r,s [mm] \ge [/mm] 0$ gilt.)
Daher:
Die Folge [mm] $(f_n)_n$ [/mm] konvergiert in [mm] $(C[-1,1],||.||_\infty)$ [/mm] und der Raum [mm] $(C^{\green{1}}[-1,1],||.||_\infty)$ [/mm] ist ein Teilraum von [mm] $(C[-1,1],||.||_\infty)$. [/mm]
Warum ist dann [mm] $(f_n)_n$ [/mm] Cauchyfolge in [mm] $(C^{\green{1}}[-1,1],||.||_\infty)$?
[/mm]
Warum kann [mm] $(f_n)_n$ [/mm] in [mm] $C^{\green{1}}[-1,1]$ [/mm] aber nicht konvergieren?
Gruß,
Marcel
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