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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:57 Mo 21.09.2009 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | C[a,b] wird durch [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel [/mm] :=
[mm] (\integral_{a}^{b}{f^{2} dx})^{\bruch{1}{2}} [/mm] zu einem unvollständigen normierten Raum. |
Hallo,
ich möchte zuerst die Lösung der Aufgabe , so wie es im Lehrbuch stand,posten:
Lösung: Sei a=b:=1, n>2 und [mm] f_{n}(x):=0 [/mm] für x [mm] \in [/mm] [0, [mm] \bruch{1}{2} -\bruch{1}{n}], [/mm] := [mm] nx+1-\bruch{n}{2} [/mm] für x [mm] (\bruch{1}{2}-\bruch{1}{n}, \bruch{1}{2}] [/mm] , :=1 für x [mm] \in (\bruch{1}{2}, [/mm] 1] (Zeichnung!). [mm] (f_{n}) [/mm] ist eine Cauchyfolge, besitzt aber keinen Grenzwert ( alles bezüglich der angegebenen Norm). Mit A 81.1 ( ich zittiere , was das bedeutet :
" Ist die Funktion stetig und nichtnegativ auf [a,b] und verschwindet [mm] \integral_{a}^{b}{f dx}, [/mm] so muss f=0 sein.") sieht man nämlich, dass eine Grenzfunktion f auf [0, [mm] \bruch{1}{2}-\delta] [/mm] verschwinden und auf [mm] [\bruch{1}{2},1] [/mm] gleich 1 sein müßte, und dies für jedes hinreichend kleine [mm] \delta>0. [/mm] Das ist eaber ein Widerspruch zur Stetigkeit von f.
Ich habe dazu eine Frage:
[mm] f_{n} [/mm] ist aus C [0,1] und nicht aus C[a,b] mit a=b=1 ?
Dadurch, dass diese Funktionenfolge aus einem anderen Raum ist als C[1,1], verstehe ich den Lösungsvorschlag nicht ganz:
warum besitzt die Folge [mm] f_{n}(1)=1 [/mm] ( da [mm] f_{n}(1) [/mm] aus C[1,1]) keine Grenzfunktion?
Danke und Gruss !
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Mo 21.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> C[a,b] wird durch [mm]\parallel[/mm] f [mm]\parallel[/mm] :=
> [mm](\integral_{a}^{b}{f^{2} dx})^{\bruch{1}{2}}[/mm] zu einem
> unvollständigen normierten Raum.
> Hallo,
>
> ich möchte zuerst die Lösung der Aufgabe , so wie es im
> Lehrbuch stand,posten:
> Lösung: Sei a=b:=1,
Es muß wohl lauten: a = 0 , b=1
> n>2 und [mm]f_{n}(x):=0[/mm] für x [mm]\in[/mm] [0,
> [mm]\bruch{1}{2} -\bruch{1}{n}],[/mm] := [mm]nx+1-\bruch{n}{2}[/mm] für x
> [mm](\bruch{1}{2}-\bruch{1}{n}, \bruch{1}{2}][/mm] , :=1 für x [mm]\in (\bruch{1}{2},[/mm]
> 1] (Zeichnung!). [mm](f_{n})[/mm] ist eine Cauchyfolge, besitzt aber
> keinen Grenzwert ( alles bezüglich der angegebenen Norm).
> Mit A 81.1 ( ich zittiere , was das bedeutet :
> " Ist die Funktion stetig und nichtnegativ auf [a,b] und
> verschwindet [mm]\integral_{a}^{b}{f dx},[/mm] so muss f=0 sein.")
> sieht man nämlich, dass eine Grenzfunktion f auf [0,
> [mm]\bruch{1}{2}-\delta][/mm] verschwinden und auf [mm][\bruch{1}{2},1][/mm]
> gleich 1 sein müßte, und dies für jedes hinreichend
> kleine [mm]\delta>0.[/mm] Das ist eaber ein Widerspruch zur
> Stetigkeit von f.
>
> Ich habe dazu eine Frage:
>
> [mm]f_{n}[/mm] ist aus C [0,1] und nicht aus C[a,b] mit a=b=1 ?
> Dadurch, dass diese Funktionenfolge aus einem anderen Raum
> ist als C[1,1], verstehe ich den Lösungsvorschlag nicht
Nochmal: da hat sich jemand verschrieben: a = 0, b= 1
> ganz:
> warum besitzt die Folge [mm]f_{n}(1)=1[/mm] ( da [mm]f_{n}(1)[/mm] aus
> C[1,1]) keine Grenzfunktion?
Das steht doch oben:
" ......dass eine Grenzfunktion f auf [0, [mm]\bruch{1}{2}-\delta][/mm] verschwinden und auf [mm][\bruch{1}{2},1][/mm]
gleich 1 sein müßte, und dies für jedes hinreichend
kleine [mm]\delta>0.[/mm] Das ist eaber ein Widerspruch zur
Stetigkeit von f."
FRED
>
> Danke und Gruss !
>
> Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 Mo 21.09.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Fred97,
im Lehrbuch der Analysis Teil 2 von Harro Heuser ist wohl ein Schreibfehler.
Danke und Gruss !
Igor
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