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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 So 27.09.2009 | | Autor: | uecki |
Hallo,
hier die Definition vom Banachraum:
Ein Banachraum ist ein normierter und vollständiger Raum, also ein Vektorraum mit einer zugeordneten Norm, in dem alle Cauchyfolgen/Fundamentalfolgen bzgl. dieser Norm einen Grenzwert in dieser Menge haben.
Bsp.:
Die Menge aller stetigen Funktionen auf einem Intervall [a,b] mit der Norm:
[mm] ||\phi(t)|| [/mm] = max [mm] |\phi(t)|
[/mm]
Definition t [mm] \in [/mm] [a,b]
bildet einen Banachraum, da mit dieser Norm eine Cauchyfolge die gleichmäßige Konvergenz der Funktionsfolge garantiert. Damit ist der Grenzwert einer Cauchyfolge selbst eine stetige Funktion.
So, irgendwie verstehe ich das da Oben nicht richtig.
Warum betrachten wir die Folgen? Und was sagt mir dieses Beispiel?
Ist der Banachraum im Zusammenhang mit der Existenz und Eindeutigkeit für DGL einfach ein Gebiet das wir betrachten, in dem die DGL eine Lösung hat??? Also, ich weiß es nicht^^
Hoffe mir kann jemand helfen.
Danke schon mal.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 So 27.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
>
> hier die Definition vom Banachraum:
> Ein Banachraum ist ein normierter und vollständiger Raum,
> also ein Vektorraum mit einer zugeordneten Norm, in dem
> alle Cauchyfolgen/Fundamentalfolgen bzgl. dieser Norm einen
> Grenzwert in dieser Menge haben.
> Bsp.:
> Die Menge aller stetigen Funktionen auf einem Intervall
> [a,b] mit der Norm:
> [mm]||\phi(t)|| = \max |\phi(t)|[/mm]
> Definition t [mm]\in[/mm] [a,b]
> bildet einen Banachraum, da mit dieser Norm eine
> Cauchyfolge die gleichmäßige Konvergenz der
> Funktionsfolge garantiert. Damit ist der Grenzwert einer
> Cauchyfolge selbst eine stetige Funktion.
>
> So, irgendwie verstehe ich das da Oben nicht richtig.
> Warum betrachten wir die Folgen?
Defnition des Begriffes Vollständigkeit einer Menge: Jede Cauchyfolge aus Elementen der Menge hat einen Grenzwert in der Menge.
> Und was sagt mir dieses
> Beispiel?
Wenn eine Funktionenfolge (in dieser sog. Maximumsnorm) eine Cauchyfolge ist, dann konvergiert die Folge gleichmäßig (laut Definition der gleichmäßigen Stetigkeit). Daraus folgt aber, dass der Grenzwert eine stetige Funktion ist und damit in der angegebenen Menge liegt. Also hat jede Cauchyfolge einen Grenzwert in der Menge, also ist die Menge (mit der Maximumsnorm) ein Banachraum.
> Ist der Banachraum im Zusammenhang mit der Existenz und
> Eindeutigkeit für DGL einfach ein Gebiet das wir
> betrachten, in dem die DGL eine Lösung hat??? Also, ich
> weiß es nicht^^
Es macht viele Nachweise einfacher. Häufig ist es einfacher zu zeigen, dass eine Folge eine Cauchyfolge ist, als dass der Grenzwert existiert. Wenn du einen Banachraum zugrundelegst, ist beides äquivalent.
Deswegen wird man eher versuchen, einen nicht vollständigen Raum zu einem Banachraum zu vervollständigen, als die Beweise für unvollständige Räume zu führen.
Viele Grüße
Rainer
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