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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Mo 16.05.2005 | | Autor: | sachmeth |
Hier hab ich nun immer noch mehr mehr und noch mal mehr fragen zum Banachraum und hoffe, das mir jemand dieses ganze mir völig unverständliche Zeug erklären kann:
Sei (M,||°||) ein Banachraum mit einer Teilmenge A von X( A≠{}) . Dann heißt A wegzusammenhängend wenn es für alle Punkte x,y ε A einen stetigen Weg w in A gibt, der x,y verbindet. D.h. es gibt eine stetige Abbildung w: [a,b]→mit w(a)=x, w(b)=y .
I Sei Q eine zusammenhängende offene Teilmenge von M und q ε Q. Sei P gegeben durch P:= {yεQ: es exisiert ein stetiger Weg von x nach y}. Dies ist die Wegzusammenhangskomponente von q in A)Zeige das P wegzus.häng. und offen ist. ( Offenheit zu zeigen durch : Die Vereinigung von 2 Wegzus. Teilmengen mit nichtleeren Schnitt von M ist wegzusammenh. Und jeder offene Ball B(x):={yεM :|| x-y ||<r}ist wegzusammenhängend .
II Zeige, dass P abgeschlossen in Q ist, also für jede Folge in P diese gegen einen Grenzwert in P konvergiert.
III Folgere, das aus I und II und dem Zusammenhang von Q gilt, dass P=Q ist.
IV Sei S eine offene Teilmenge von M. Zeige, das S zusammenhängend ist, genau dann wenn S wegzusammenhängend ist.
Ich weiß, das jede wegzusammenhängende Menge auch zusammenhängend ist also muss ich hier nur noch zeigen, dass jede zusammenhängende offene Menge wegzusammenhängend ist.
Vielen Dank für eure Hilfe, freue mich auch über Ansätze da ich hier nicht weiß wie und wo ich anfangen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Sachmeth!
> Sei (M,||°||) ein Banachraum mit einer Teilmenge A von X(
> A≠{}) . Dann heißt A wegzusammenhängend wenn es für
> alle Punkte x,y ε A einen stetigen Weg w in A gibt,
> der x,y verbindet. D.h. es gibt eine stetige Abbildung w:
> [a,b]→mit w(a)=x, w(b)=y .
>
> I Sei Q eine zusammenhängende offene Teilmenge von M und q
> ε Q. Sei P gegeben durch P:= {yεQ: es exisiert
> ein stetiger Weg von x nach y}. Dies ist die
> Wegzusammenhangskomponente von q in A)Zeige das P
> wegzus.häng. und offen ist. ( Offenheit zu zeigen durch :
> Die Vereinigung von 2 Wegzus. Teilmengen mit nichtleeren
> Schnitt von M ist wegzusammenh. Und jeder offene Ball
> B(x):={yεM :|| x-y ||<r}ist wegzusammenhängend .
Mit dem Hinweis bist du doch schon fertig. Es sei $x [mm] \in [/mm] P$ beliebig gewählt. Da $Q$ offen ist, gibt es einen Ball [mm] $B_{\varpesilon}(x)$ [/mm] um $x$, der ganz in $Q$ liegt. Gemäß der anderen Aufgabe lassen sich alle Punkte des Balles durch einen stetigen Weg mit $x$ verbinden. Daraus folgt: [mm] $B_{\varepsilon}(x) \subset [/mm] W$, d.h. $Q$ ist offen.
> II Zeige, dass P abgeschlossen in Q ist, also für jede
> Folge in P diese gegen einen Grenzwert in P konvergiert.
Das Komplement von $P$ ist offen, da es die Vereinigung der übrigen Wegzusammenhangskomponenten von $Q$ ist und eine beliebige Vereinigung offener Mengen wieder offen ist. Daher ist $P$ abgeschlossen. Alternativ könntest du auch zeigen, dass mit $P$ auch [mm] $\bar{P}$ [/mm] zusammenhängend ist, dann würde [mm] $P=\bar{P}$ [/mm] folgen, also ebenfalls die Abgeschlossenheit von $P$. Das erste Argument ist aber einfacher.
> III Folgere, das aus I und II und dem Zusammenhang von Q
> gilt, dass P=Q ist.
Im Falle $P [mm] \ne [/mm] Q$ wäre $P=Q [mm] \cup Q^{c}$, [/mm] und $Q$, [mm] $Q^{c}$ [/mm] wären nicht leer und offen, sowie $Q [mm] \cap Q^{c} [/mm] = [mm] \emptyset$. [/mm] Dann wäre $P$ aber nicht zusammenhängend.
> IV Sei S eine offene Teilmenge von M. Zeige, das S
> zusammenhängend ist, genau dann wenn S wegzusammenhängend
> ist.
> Ich weiß, das jede wegzusammenhängende Menge auch
> zusammenhängend ist also muss ich hier nur noch zeigen,
> dass jede zusammenhängende offene Menge wegzusammenhängend
> ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Es sei $x [mm] \in [/mm] P$ ($P$ sei offen und zusammenhängend) beliebig gewählt. Nach IV gilt aber $P=Q$, wobei $Q$ die Wegzusammenhangskomponente von $x$ ist. Nun seien $y,z [mm] \in [/mm] P$ beliebig gewählt. Dann gibt es stetige Wege von $y$ nach $x$ und von $x$ nach $z$. Setzt man die beiden Wege zusammen, so erhält man einen stetigen Weg von $y$ nach $z$. Daraus folgt, dass $P$ wegzusammenhängend ist.
Viele Grüße
Stefan
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