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Banachscher Fixpunkt: Feststellung der Lipschitzk.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:01 So 03.02.2008
Autor: Wutzi

Aufgabe
die kleinste Nullstelle von 0.1x² - x +2 =0 soll iterativ genähert werden. Nullstelle liege zwischen 2 und 3. Man prüfe ob die Kontraktionsbedingung nach Banach. Fixpunktsatz erfüllt sind.

Wie man iteriert weiß ich ja. Aber wie komm ich auf die Konstante?
Ich weiß, dass das Extremum der fkt bei x=5 liegt, und ein Minimum ist. Also ist der max. Wert in meinem Intervall f(2) = 0.4.
Aber was such ich eigentlich?
den maximalen Wert der Ableitung? oder den maximalen Wert der Fkt? Wir haben nämlich mit Mittelwertsatz geschrieben:
|g(x)-g(y)|<=|g'(Xsi)| |x-y|
Also, über eine Erklärung würde ich mich freuen, vielen Dank

        
Bezug
Banachscher Fixpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:11 So 03.02.2008
Autor: tobbi

Hallo Wutzi,

du suchst den Maximalenwert der Ableitung auf deinem Itervall um dann g'(xsi) dagegen abschätzen zu können.

f(x) = 0.1x² - x +2
f'(x) = 0,2x-1

wie man leicht sieht (f'(x) monoton!!), gilt für |f'(x)| im betrachteten Intervall [2,3]

[mm] 0,4\le |f'(x)|\le0,6. [/mm]

Also insbesondere [mm] |f'(x)|\le0,6. [/mm] Dies gilt dann logischerweise auch für jede Zwischenstelle xsi im Intervall und erfüllt damit die Kontraktionsbedingung für Banach.
(Das Vorgehen wie hier sollte normalerweise bei allen "Banach-Aufgaben" funktionieren)

Schöne Grüße
Tobbi

Bezug
                
Bezug
Banachscher Fixpunkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:14 So 03.02.2008
Autor: Wutzi

Vielen Dank,
jetzt ists mir klarer!

Bezug
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