Banachscher Fixpunktsatz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Do 17.09.2009 | | Autor: | a_la_fin |
| Aufgabe | | Berechnung von [mm] \wurzel{2} [/mm] mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes und der Funktion [mm] f(x)=x^{2}-2 [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe ein kleines Problem damit, dieses Beispiel zur Berechnung der Wurzel aus 2 mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes nachzuvollziehen.
Gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=x^{2}-2. [/mm] Wir suchen eine Nullstelle von f(x), wissen aber schon, dass es 2 Nullstellen von f(x) , also 2 Fixpunkte von g(x)=f8x)+x = [mm] x^{2}-2+x [/mm] gibt [mm] \Rightarrow [/mm] wir können den Banachschen Fixpunktsatz nicht direkt anwenden.
Wenn wir aber g auf das Intervall [1,2] beschränken, dann ist auf diesem Intervall g' [mm] \ge [/mm] 3 (ja, da g'(1)=2x+1=3 ergibt), also NICHT kontrahierend.
(So weit kann ich noch sehr gut folgen  )
Man könnte nun statt f die Funktion c*f benutzen, die für c [mm] \in \IR \{0} [/mm] die gleichen Nullstellen wie f besitzt, aber für c [mm] \in (-\bruch{1}{2}, [/mm] 0) eine kontrahierende Abbildung [mm] x\mapsto [/mm] c*f(x)+x liefert.
Das verstehe ich nicht: wenn z.B. [mm] c=-\bruch{1}{4} [/mm] dann ergibt sich für g: [mm] g(x)=-\bruch{1}{4}(x^{2}-2) [/mm] + x = [mm] -\bruch{1}{4}x^{2}+0,5+x [/mm] und für [mm] g'(x)=-\bruch{1}{2}x+1 [/mm] das ist doch aber für c [mm] \in (-\bruch{1}{2}, [/mm] 0) immer GRÖSSER als 1 und damit NICHT kontrahierend??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
lG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Do 17.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Du betrachtest doch $ [mm] g'(x)=-\bruch{1}{2}x+1 [/mm] $ im Intervall [1,2].
Für x [mm] \in [/mm] [1,2] gilt: g'(x) [mm] \in [/mm] [0, 1/2]
Mach Dir mal eine Zeichnung !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:47 Fr 18.09.2009 | | Autor: | a_la_fin |
Hi
ach verdammt ich hab aus Versehn das c für x eingesetzt - Autsch! tut mir Leid, ich war total übermüdet... ich verspreche: das nächste Mal denk ich erst richtig (nüchtern/ausgeschlafen/unabgelenkt) nach, bevor ich so dämliche Fragen stell!!!
Grüße
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