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| Aufgabe | | Nullstellenbestimmung von f(x) = 3(x-ln(x))-13/4 mithilfe des Banachschen Fixpunktsatzes (x>0) |
Hi,
ich sitze bei der Aufgabe etwas fest.
Zuerst habe ich mittels Graphen gesehen, dass eine Nullstelle im Intervall D = [1,4;1,5] liegt.
Jetzt brauche ich eine Verfahrensfunktion [mm] \Phi(x):
[/mm]
f(x) = 0 [mm] \gdw [/mm] x = ln(x) + 13/12 [mm] \Rightarrow \Phi(x) [/mm] = ln(x) + 13/12.
Ich muss nun die Voraussetzungen für den Banachschen Fixpunktsatz prüfen:
[mm] \circ [/mm] D = [1,4;1,5] [mm] \subset \IR [/mm] ist abgeschlossen
[mm] \circ[/mm] [mm]\[/mm][mm] \Phi(x): [/mm] D [mm] \to [/mm] D ist eine Selbstabbildung, da [mm] \Phi(1,4) [/mm] und [mm] \Phi(1,5) [/mm] in D liegen und [mm] \Phi'(x) [/mm] streng monoton steigend ist
Korrekt?
Nun soll [mm] \Phi(x) [/mm] noch eine kontrahierende Abbildung mit
[mm] |\Phi(x)-\Phi(y)| \le [/mm] L|x-y| (0<L<1) für alle x,y in D sein, doch wie bestimme ich L? Sollte ich besser ein anderes Intervall wählen?
Vielen Dank!
LG
Mira
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Sa 08.01.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
bist Du sicher mit der Funktion, bei mir hat die Funktion [mm] f(x)=3*[x-ln(x)]-\br{13}{14} [/mm] keine Nullstelle.
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Sorry, dummer Fehler. Der Beitrag wurde editiert!
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Hallo mira.maths,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sorry, dummer Fehler. Der Beitrag wurde editiert!
Besser Du untersuchst hier [mm]\Phi'\left(x\right)[/mm]
Es muss nämlich gelten: [mm]\vmat{\Phi'\left(x\right)}< 1[/mm]
Dann ist die Abbildung kontrahierend.
Gruss
MathePower
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Hi,
danke für deine Hilfe!
Jedoch benötige ich die Kontraktionskonstante L später für eine Fehlerabschätzung. Die von dir angegebene Bedingung ergibt sich bei der vorliegenden Funktion ja sehr leicht. Wie bekomme ich L dann heraus?
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Hallo mira.maths,
> Hi,
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> danke für deine Hilfe!
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> Jedoch benötige ich die Kontraktionskonstante L später
> für eine Fehlerabschätzung. Die von dir angegebene
> Bedingung ergibt sich bei der vorliegenden Funktion ja sehr
> leicht. Wie bekomme ich L dann heraus?
Die Kontraktionskonstante L ergibt sich dann so:
[mm]L=\operatorname{max}\left\{ \ \left{x \in \left[1.4,1.5\right] \ | \ \vmat{\Phi'\left(x\right)} \ \right\}[/mm]
Gruss
MathePower
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Hallo,
ich bin immer noch am hadern.
Mit der von MathePower angegebenen Bedingung ist die Kontraktionskonstante L leicht zu finden.
[mm] |\Phi'(x)|=|\bruch{1}{x}|<1 [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [1,4;1,5], also kontrahierende Abbildung.
L = [mm] \bruch{1}{1,4} [/mm] = [mm] \bruch{5}{7}
[/mm]
Jedoch sehe ich nicht, warum [mm] |\Phi'(x)|<1 [/mm] äquivalent zu [mm] |\Phi(x)-\Phi(y)| \le [/mm] L|x-y| sein soll!
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Hallo mira.maths,
> Hallo,
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> ich bin immer noch am hadern.
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> Mit der von MathePower angegebenen Bedingung ist die
> Kontraktionskonstante L leicht zu finden.
> [mm]|\Phi'(x)|=|\bruch{1}{x}|<1[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] [1,4;1,5],
> also kontrahierende Abbildung.
> L = [mm]\bruch{1}{1,4}[/mm] = [mm]\bruch{5}{7}[/mm]
>
> Jedoch sehe ich nicht, warum [mm]|\Phi'(x)|<1[/mm] äquivalent zu
> [mm]|\Phi(x)-\Phi(y)| \le[/mm] L|x-y| sein soll!
Das ist im wesentlichen eine Anwendung des
![[]](/images/popup.gif) Mittelwertsatzes der Differentialrechung.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Sa 08.01.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
noch eine Anmerkung [mm] \Phi(x) [/mm] ist keine Selbstabbildung von D [mm] \to [/mm] D weil [mm] \Phi(1.4)=1.42 [/mm] ist und somit nicht in D liegt.
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Hä?
1,42 [mm] \in [/mm] [1,4;1,5] gilt doch! Oder stehe ich nun ganz auf dem Schlauch?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Sa 08.01.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
nee nee, alles in Ordnung bei Dir, ich hab halt ein Glas Wein zum Abendessen getrunken. Einfach vergessen und streichen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Mo 10.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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