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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Banachscher Fixpunktsatz Korre
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Banachscher Fixpunktsatz Korre: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:31 Sa 19.03.2011
Autor: Nadia..

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Funktion  $ [mm] f:[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\to [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}],\, [/mm] x [mm] \mapsto \pi [/mm] + [mm] \arctan(x) [/mm]  $
genau einen Fixpunkt hat und berechnen Sie diesen numerisch auf zwei Dezimalstellen genau.
postid=1357899]

Mit dem Schrankensatz folgt
$ [mm] \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}$ [/mm]
also

$ [mm] |\frac{1}{1+x^2}| \leq |\frac{1}{1+\frac{\pi}{4}^2}| \,\,\,\, \forall [/mm] x [mm] \in [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}] \Rightarrow [/mm] q [mm] =|\frac{1}{1+\frac{\pi}{2}^2}| [/mm] $,wobei q die Kon.konstante ist.


Nun berechne die  $ f(c) = c$

dazu
$ [mm] x_0 [/mm] = 2  [mm] \in [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}] [/mm] $
[mm] $x_1 [/mm] = [mm] \pi [/mm] + [mm] \arctan(2) [/mm] $
$ [mm] x_2= \pi [/mm] + [mm] \arctan(x_1)$ [/mm]
.
.
.
[mm] $\lim_{n \to \infty} x_n [/mm] =  [mm] \pi [/mm] + [mm] \arctan(x_{n-1}) \to [/mm] 4,5$

Nun zur Fehlerabschätzung

[mm] $(\frac{(\frac{1}{1+\frac{\pi}{4}^2})^5}{1-\frac{1}{1+\frac{\pi}{4}^2} } [/mm] )*|4.5- [mm] \pi [/mm] + [mm] \arctan(2)| [/mm] = 0.00630  $
also für n =5 .




Ist das richtig so ?

Viele Grüße,
Nadia

(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)

        
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz Korre: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:03 Sa 19.03.2011
Autor: MathePower

Hallo Nadia..,

  > Zeigen Sie, dass die Funktion  

> [mm]f:[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\to [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}],\, x \mapsto \pi + \arctan(x) [/mm]
>  
> genau einen Fixpunkt hat und berechnen Sie diesen numerisch
> auf zwei Dezimalstellen genau.
>  postid=1357899]
>  
> Mit dem Schrankensatz folgt
>   [mm]\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}[/mm]
>  
> also
>
> [mm]|\frac{1}{1+x^2}| \leq |\frac{1}{1+\frac{\pi}{4}^2}| \,\,\,\, \forall x \in [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}] \Rightarrow q =|\frac{1}{1+\frac{\pi}{2}^2}| [/mm],wobei
> q die Kon.konstante ist.
>  
>
> Nun berechne die  [mm]f(c) = c[/mm]
>  
> dazu
> [mm]x_0 = 2 \in [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}][/mm]
>   [mm]x_1 = \pi + \arctan(2)[/mm]
>  
> [mm]x_2= \pi + \arctan(x_1)[/mm]
>  .
>  .
>  .
>  [mm]\lim_{n \to \infty} x_n = \pi + \arctan(x_{n-1}) \to 4,5[/mm]
>  
> Nun zur Fehlerabschätzung
>  
> [mm](\frac{(\frac{1}{1+\frac{\pi}{4}^2})^5}{1-\frac{1}{1+\frac{\pi}{4}^2} } )*|4.5- \pi + \arctan(2)| = 0.00630 [/mm]
>  
> also für n =5 .
>  


Hier hast Du die a-priori-Abschätzung verwendet.

Daher muss hier stehen:

[mm](\frac{(\frac{1}{1+\frac{\pi}{4}^2})^5}{1-\frac{1}{1+\frac{\pi}{4}^2} } )*|x_{1}-x_{0}| \approx 0.00630 [/mm]


>
>
> Ist das richtig so ?


Mit den angebrachten Korrekturen stimmt das.


>  
> Viele Grüße,
>  Nadia
>  
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz Korre: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:09 Sa 19.03.2011
Autor: Nadia..

vielen dank

Lg

Nadia..

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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