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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Sa 24.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
| Aufgabe | Es ist V ein K-Vektorraum der Dimension n und W ein K-Vektorraum der Dimension m. Es sei [mm] \varphi [/mm] :V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung. Zeigen Sie : Dann gibt es Basen [mm] v=(v_1,....,v_n) [/mm] von V und [mm] w=(w_1, ...,w_m) [/mm] von W, sodass
die Matrixdarstellung von [mm] \varphi [/mm] bezüglich dieser Basen durch
[mm] \varphi_v,_w [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}1&0&...&...&....&0\\0&.&0&0&....&0\\0&.&1&0&....&0\\:&...&0&0&....&:\\0&...&...&...&....&0\\\end{pmatrix} \in [/mm] M (m [mm] \times [/mm] n,K)
gegeben ist. |
Hi,
habe gar keine Ahnung was ich bei der Aufgabe machen soll.
Kann mir jemand weiterhelfen? Wäre sehr dankbar darüber.
Gruß didi_160
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Sa 24.06.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi nochmal,
also [mm] $\varphi$ [/mm] ist ja eine lineare Abbildung, also hat einen Kern in V und ein Bild in W.
du kennst doch hoffentlich den wichtigen Satz:
Die Bilder der Basisvektoren stehen als Spalten in der Darstellungsmatrix, oder?
schau dir mal die gewünschte Darstellungsmatrix an:
die letzten paar Spalten sind alles 0-Spalten, d.h. die entspr. letzten Basisvektoren werden alle auf 0 abgebildet - sie bilden also eine Basis des Kerns !
So - angenommen du hast jetzt einen k-dimensionalen Kern, dann nenne desses Basisvektoren mal : [mm] $\{ v_{n-k+1} , v_{n-k+2},..,v_n \} [/mm] $
Also wir nehmen den Kern und packen die Basisvektoren ans Ende unserer Basis von V.
Nun kennst du sicher den Basisergänzungssatz - der besagt, dass man auch die fehlenden Vektoren [mm] v_1 [/mm] bis [mm] $v_{n-k}$ [/mm] berechnen kann.
Nehmen wir also an, wir hätten dies gemacht. und haben damit schonmal unsere gesuchte Basis für V.
Aber wie muss man nun die Basis von W wählen, so dass die Darstellungsmatrix gerade die gewünschte Forme hat?
Nunja, : die ersten (n-k) Vektoren müssen auf entsprechende (n-k) Basisvektoren von W abgebildet werden, damit unsere ersten Spalten so aussehen, wie sie sollen - da wir uns aber nicht aussuchen können, wie [mm] $\varphi$ [/mm] aussieht, sind diese ersten (n-k) Basisvektoren von W schon eindeutig bestimmt :
setze nämlich : [mm] $w_i=\varphi (v_i)$ [/mm] (für [mm] $i\le(n-k)$) [/mm] also benutze einfach die Bilder als Teil der Basis von W.
Die eigentlich wichtige Fangfrage hier ist :
Warum sind die Bilder der ersten (n-k) Basisvektoren von V linear unabhängig ? (wenn wir sie so konstruiert haben, wie oben beschrieben)
[warum muss hier also [mm] $m\ge [/mm] (n-k)$ sein ?]
Das solltest du dir mal ganz in Ruhe überlegen und es dann auch in deine Lösung schreiben !
Jedenfalls haben wir schon die ersten (n-k) Basisvektoren von W - so jetzt erhalten wir den rest aber wieder durch den Basisergänzungssatz - d.h. wir ahben bewiesen, dass es eine Basis von V und eine Basis von W gibt, so dass die Darstellungsmatrix die gewünschte Form hat.
wie man die Aufgabe jetzt an einem praktischen Beispiel umsetzen würde, kannst du HIER nachlesen.
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Di 27.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
> schau dir mal die gewünschte Darstellungsmatrix an:
> die letzten paar Spalten sind alles 0-Spalten, d.h. die
> entspr. letzten Basisvektoren werden alle auf 0 abgebildet
> - sie bilden also eine Basis des Kerns !
>
> So - angenommen du hast jetzt einen k-dimensionalen Kern,
> dann nenne desses Basisvektoren mal : [mm]\{ v_{n-k+1} , v_{n-k+2},..,v_n \}[/mm]
>
> Also wir nehmen den Kern und packen die Basisvektoren ans
> Ende unserer Basis von V.
Das erreiche ich, indem diese einfach die ans weitere Spaltenvektoren notiere.
> Nun kennst du sicher den Basisergänzungssatz - der besagt,
> dass man auch die fehlenden Vektoren [mm]v_1[/mm] bis [mm]v_{n-k}[/mm]
> berechnen kann.
>
> Nehmen wir also an, wir hätten dies gemacht. und haben
> damit schonmal unsere gesuchte Basis für V.
Das habe ich leider noch nicht gemacht. Im angegebenen Fallbeispiel erkenne ich den Rechenschritt leider nicht.
Erst einmal bis hierher! Kannst du mir das bitte noch einmal erklären?
Gruß Didi_160
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:40 Do 29.06.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
also erstmal vorweg : Die Aufgabe ist hier theoretischer Natur.
Also wenn ich geschrieben habe, dass man den Kern berechnet und danch die Basis ergänzt usw , dann kann man das hier natürlich nicht machen, denn die Abbildung ist ja gar nicht angegeben.
Hier geht es darum zu zeigen, dass es möglich wäre, wenn eine beliebige Abbildung richtig angegeben wäre.
Also du musst nichts wirklich ausrechnen - meine Argumentation oben ist übrigens schon recht vollständig - du solltest dir nur mal überlgen, dass es auch so funktioniert.
> > Also wir nehmen den Kern und packen die Basisvektoren ans
> > Ende unserer Basis von V.
>
> Das erreiche ich, indem diese einfach die ans weitere
> Spaltenvektoren notiere.
Hüh?
Also WENN man denn dann eine Basis des Kerns bestimmt hat
(das kann man bei jeder beliebigen Abbildung ja machen - aber hier ist ja keine spezielle gegeben !)
DANN schreibt man diese einfach ans Ende der Basis von V.
(wenn man sie an den Anfang schreibt, würden die ganzen Nullspalten vorne in der Darstellungsmatrix stehen)
> > Nehmen wir also an, wir hätten dies gemacht. und haben
> > damit schonmal unsere gesuchte Basis für V.
>
> Das habe ich leider noch nicht gemacht. Im angegebenen
> Fallbeispiel erkenne ich den Rechenschritt leider nicht.
Ja im Beispiel ist man nur bis zur Berechnung des Kerns gekommen.
Bzw. man hat eine andere Möglichkeit gefunden, wie man die Transformationsmatrix berechnen kann (und daraus die Basis ablesen kann)
Im allgemeinen, kannst du dir doch deine Basis des KErns nehmen, dann die Standardbasis dazu nehmen - dann hast du ein Erzeugendensystem - jezt kann man mit ähnlichen Überlegungen wie beim Gausschen Eliminierungsverfahren daraus eine Basis gewinnen, so dass man die Basisvektoren des Kerns behält.
(also hat man dann zu einer Basis von V ergänzt)
siehe z.B. mal HIER
viele Grüße
DaMenge
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