Basen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Mi 30.01.2008 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | { [mm] \overrightarrow{e_1}=(1;0), \overrightarrow{e_2}=(0;1)} [/mm] und { [mm] \overrightarrow{b_1}=(1;3), \overrightarrow{b_2}=(2;7)} [/mm] sind basen im [mm] \IR^2. [/mm] Ein beliebiger Vektor [mm] \overrightarrow{v}im \IR^2 [/mm] habe bzgl. der beiden Basen die Darstellungen [mm] \overrightarrow{v}=a_1 \overrightarrow{e_1}+a_2 \overrightarrow{e_2} [/mm] bzw. [mm] \overrightarrow{v}=b_1 \overrightarrow{b_1}+ b_2 \overrightarrow{b_2}
[/mm]
Geben Sie den Zusammenhang zwischen den Koordinaten in den beiden Basen an. |
Was genau soll ich bei dieser Aufgabenstellung tun, was muss ich berechnen?
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> E:={ [mm]\overrightarrow{e_1}=(1;0), \overrightarrow{e_2}=(0;1)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> und B:={ [mm]\overrightarrow{b_1}=(1;3), \overrightarrow{b_2}=(2;7)}[/mm]
> sind basen im [mm]\IR^2.[/mm] Ein beliebiger Vektor
> [mm]\overrightarrow{v}im \IR^2[/mm] habe bzgl. der beiden Basen die
> Darstellungen [mm]\overrightarrow{v}=a_1 \overrightarrow{e_1}+a_2 \overrightarrow{e_2}[/mm]
> bzw. [mm]\overrightarrow{v}=b_1 \overrightarrow{b_1}+ b_2 \overrightarrow{b_2}[/mm]
>
> Geben Sie den Zusammenhang zwischen den Koordinaten in den
> beiden Basen an.
> Was genau soll ich bei dieser Aufgabenstellung tun, was
> muss ich berechnen?
Hallo,
Du sollst die Basistransformationsmatrizen für die Übergänge v. B zu E und von E zu B angeben,
also die Matrix T, welche Dir den Koordinatenvektor bzgl B transformiert in einen bzgl E, die also folgendes leistet:
[mm] T\vektor{b_1 \\ b_2}=\vektor{a_1 \\ a_2}
[/mm]
und die Matrix T', welche Vektoren bzgl E in solche bzgl. B transformiert:
[mm] T'\vektor{a_1 \\ a_2}=\vektor{b_1 \\ b_2}.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:48 Do 31.01.2008 | | Autor: | jura |
aha, hat das was mit darstellungsmatrizen zu tun?-dann hatten wir das nämlich noch gar nicht!! aber jetzt wo ich einmal angefangen habe.........und früher oder später kommt es sicher eh noch........
also, was ich bisher darüber gelesen habe, so muss ich zu beginn die bilder der einzelnen basisvektoren des definitionsbereiches berechnen, diese dann bezüglich der basis im bildbereich darstellen. die skalaren komponenten bilden dann die spalten der darstellungsmatrix. ??? aber was ist hier denn die abbildungsvorschrift, was setze ich wo ein????
|
|
|
| |
|
> aha, hat das was mit darstellungsmatrizen zu tun?-dann
> hatten wir das nämlich noch gar nicht!!
Achso.
Dann ist wohl dies gefragt:
A. [mm] \vec{v}=\vektor{a_1 \\ a_2}_E=b_1\vec{b_1}+b_2\vec{b_2}=\vektor{... \\ ...}_E,
[/mm]
was Dir dann [mm] a_1(b_1,b_2) [/mm] und [mm] a_2(b_1,b_2) [/mm] liefert.
Für das umgekehrte kann man sich auch interessieren:
B. [mm] \vec{v}=\vektor{b_1 \\ b_2}_B=a_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}= (....)\vec{b_1}+(...)\vec{b_2}=\vektor{... \\ ...}_B,
[/mm]
bei den ... stehen hier Ausdrücke, die v. [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] abhängen.
> aber jetzt wo ich
> einmal angefangen habe.........und früher oder später kommt
> es sicher eh noch........
Ja, bestimmt. Dies hier ist eine sinnvolle Vorbereitung, die ich nicht überspringen würde.
Du sollst hier lernen, wie Du einen Vektor, der Dir in Koordinaten bzgl B gegeben ist, in Koordinaten bzgl E darstellen kannst (A.), und wie Du einen Vektor, der Dir in Koordinaten bzgl E gegeben ist, in Koordinaten bzgl B darstellen kannst (B.).
Bei B. ist es am einfachsten, wenn Du Dir überlegst, wie Du die Standardvektoren als Linearkombination der Vektoren aus B schreiben kannst.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Do 31.01.2008 | | Autor: | jura |
sorry, aber ich habe einfach keinen plan, was ich hier wo einsetzen soll! zum ersten verstehen brauche ich irgendwie ersteinmal ein bsp, an dem ich es nachvollziehen kann! wär nett, danke!
|
|
|
| |
|
> sorry, aber ich habe einfach keinen plan, was ich hier wo
> einsetzen soll! zum ersten verstehen brauche ich irgendwie
> ersteinmal ein bsp, an dem ich es nachvollziehen kann! wär
> nett, danke!
Hallo,
mach Dir doch ein Beispiel!
zu A.
Schreib Dir
$ [mm] \vec{v}=7\vec{b_1}-13 \vec{b_2} [/mm] als Linearkombination v. [mm] \vec{e_1} [/mm] und [mm] \vec{e_2},
[/mm]
die Koeffizienten "gestapelt" ergeben den gesuchten Koordinatenvektor bzg. E
zu B.
Schreib Dir
$ [mm] \vec{v}=2\vec{e_1}-3 \vec{e_2} [/mm] als Linearkombination v. [mm] \vec{b_1} [/mm] und [mm] \vec{b_2},
[/mm]
die Koeffizienten "gestapelt" ergeben den gesuchten Koordinatenvektor bzg. B.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:24 Fr 01.02.2008 | | Autor: | jura |
nein wirklich, bitte glaub mir- ich habe ne totale blockade und weiß wirklich nicht, wie ich das darstellen kann, wenn ich doch die vektoren [mm] \overrightarrow{b} [/mm] nicht kenne! biiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiitte, mach es mir doch ein einzigstes mal vor!!!!
|
|
|
| |
|
> nein wirklich, bitte glaub mir- ich habe ne totale blockade
> und weiß wirklich nicht, wie ich das darstellen kann, wenn
> ich doch die vektoren [mm]\overrightarrow{b}[/mm] nicht kenne!
Hallo,
das ist ja wohl nicht Dein Ernst: hast Du Deine eigene Aufgabe nicht durchgelesen??? Du mußt sie doch sogar eingetippt haben. Sonst stünde sie ja nicht hier.
Lies Dir jetzt Deine Aufgabe durch, und tu das, was ich Dir riet: schreibe
" $ [mm] \vec{v}=7\vec{b_1}-13 \vec{b_2} [/mm] $ als Linearkombination v. $ [mm] \vec{e_1} [/mm] $ und $ [mm] \vec{e_2}, [/mm] $
die Koeffizienten "gestapelt" ergeben den gesuchten Koordinatenvektor bzg. E
zu B.
Schreib Dir
$ [mm] \vec{v}=2\vec{e_1}-3 \vec{e_2} [/mm] $ als Linearkombination v. $ [mm] \vec{b_1} [/mm] $ und $ [mm] \vec{b_2}, [/mm] $"
Es dauert nicht lange und es ist nicht schwierig und ich möchte Dir das nicht abnehmen, weil ich der Meinung bin, daß Du hieran begreifen kannst, was es mit Koordinatenvektoren auf sich hat - eine Voraussetzung zum Verständnis der Basisvektoren.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Fr 01.02.2008 | | Autor: | jura |
ja, tut mir leid, du hast natürlich recht- ich habe es ja bereits selbst geschrieben....aber das kommt davon, wenn man mehrere aufgaben gleichzeitig macht und diese habe ich ja nun auch nicht erst heute begonnen! ich bin dann davon ausgegangen, dass ich [mm] \overrightarrow{e}, [/mm] die einheitsvektoren kenne, [mm] \overrightarrow{b} [/mm] jedoch nicht........nun habe ich natürlich die zahlen doch wieder entdeckt und erhalte so folgende ergebnisse:
A. [mm] \vektor{19 \\ 70}_E
[/mm]
B. [mm] \vektor{-9 \\ 20}_B
[/mm]
stimmt das?
und nun brauche ich aber trotzdem noch einige erklärungen zum verständnis: wenn ich also die koordinaten eines vektors bzgl. einer basis ermitteln soll, ist dies gleichzusetzen mit den skalaren komponenten bzgl der basis (wie oben im bsp)? und was genau ist nun mit dem zusammenhang zwischen den koordinaten in den beiden basen gemeint?
gruß und dankeschön!
|
|
|
| |
|
> nd erhalte so folgende ergebnisse:
> A. [mm]\vektor{19 \\ 70}_E[/mm]
Hallo,
abgesehen davon, daß Du die Minuszeichen unterschlagen hast, stimmt's.
>
> B. [mm]\vektor{-9 \\ 20}_B[/mm]
Das ist nicht richtig, was Du selbst prüfen kannst:
wir hatten ja $ [mm] \vec{v}=2\vec{e_1}-3 \vec{e_2} [/mm] $ und das ist nicht dasselbe wie $ [mm] -9\vec{e_1}+20\vec{e_2} [/mm] $ .
> und nun brauche ich aber trotzdem noch einige erklärungen
> zum verständnis: wenn ich also die koordinaten eines
> vektors bzgl. einer basis ermitteln soll, ist dies
> gleichzusetzen mit den skalaren komponenten bzgl der basis
> (wie oben im bsp)?
Genau. Der Koordinatenvektor bezieht sich immer auf eien Basis. "Drin" stehen die Koeffizienten der Linearkombination. Wenn Du mit mehreren Basen gleichzeitig zu tun hast, rate ich Dir, die Basis als Index an den Koordinatenvektor zu hängen. Dann vergißt man nicht so leicht, was das bedeutet.
> und was genau ist nun mit dem
> zusammenhang zwischen den koordinaten in den beiden basen
> gemeint?
Die wollen von Dir folgendes wissen:
Wenn Du einen beliebigen Vektor $ [mm] \overrightarrow{v}=a_1 \overrightarrow{e_1}+a_2 \overrightarrow{e_2} [/mm] $ vorgegeben hast, wie müssen dann die Faktoren der Linearkombination sein, wenn Du ihn als Linearkombination von [mm] \overrightarrow{b_1} [/mm] und [mm] \overrightarrow{b_2} [/mm] schreiben willst.
[mm] \overrightarrow{v}=a_1 \overrightarrow{e_1}+a_2 \overrightarrow{e_2} [/mm] $ [mm] =?_1*\overrightarrow{b_1} [/mm] +?_2 [mm] \overrightarrow{b_2}.
[/mm]
?_1 und ?_2 werden hier natürlich von [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] abhängen. ?_1 und ?_2 sind zu berechnen, und zum Schluß kannst Du schreiben:
$ [mm] \overrightarrow{v}=a_1 \overrightarrow{e_1}+a_2 \overrightarrow{e_2} [/mm] $ [mm] =\vektor{a_1 \\ a_2}_E$ [/mm] ?_1 [mm] \overrightarrow{b_1}+?_2 \overrightarrow{b_2} [/mm] $ = [mm] \vektor{?_1 \\ ?_2}_B.
[/mm]
Und für den anderen Aufgabenteil eben genau andersrum.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 So 03.02.2008 | | Autor: | jura |
> > nd erhalte so folgende ergebnisse:
> > A. [mm]\vektor{19 \\ 70}_E[/mm]
>
> Hallo,
>
> abgesehen davon, daß Du die Minuszeichen unterschlagen
> hast, stimmt's.
ja, genau.
> > B. [mm]\vektor{-9 \\ 20}_B[/mm]
>
> Das ist nicht richtig, was Du selbst prüfen kannst:
>
> wir hatten ja [mm]\vec{v}=2\vec{e_1}-3 \vec{e_2}[/mm] und das ist
> nicht dasselbe wie [mm]-9\vec{e_1}+20\vec{e_2}[/mm] .
es soll ja auch dasselbe sein wie [mm]-9\vec{b_1}+20\vec{b_2}[/mm] . also der darstellung bzgl der basis B, oder??!!
und natürlich: besten dank für all die erklärungen!
|
|
|
| |
|
> > wir hatten ja [mm]\vec{v}=2\vec{e_1}-3 \vec{e_2}[/mm] und das ist
> > nicht dasselbe wie [mm]-9\vec{e_1}+20\vec{e_2}[/mm] .
>
> es soll ja auch dasselbe sein wie [mm]-9\vec{b_1}+20\vec{b_2}[/mm] .
> also der darstellung bzgl der basis B, oder??!!
Ja sicher, es war bei mir ein Versehen, da soll jeweils b stehen, was nichts daran ändert, daß es verkehrt ist.
Das kannst Du doch nachprüfen, wenn Du die [mm] \vec{b_i} [/mm] einsetzt, es müßte ja [mm] \vektor{2\\ -3}_E [/mm] herauskommen, und das tut es nicht.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Di 05.02.2008 | | Autor: | jura |
> Das kannst Du doch nachprüfen, wenn Du die [mm]\vec{b_i}[/mm]
> einsetzt, es müßte ja [mm]\vektor{2\\ -3}_E[/mm] herauskommen, und
> das tut es nicht.
>
nach meinen berechnungen schon: [mm]\vektor{2\\ -3}_E[/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -3}= [/mm] 20 [mm] \vektor{1 \\ 3} [/mm] + (-9) [mm] \vektor{2 \\ 7}
[/mm]
|
|
|
| |
|
> > Das kannst Du doch nachprüfen, wenn Du die [mm]\vec{b_i}[/mm]
> > einsetzt, es müßte ja [mm]\vektor{2\\ -3}_E[/mm] herauskommen, und
> > das tut es nicht.
> >
> nach meinen berechnungen schon: [mm]\vektor{2\\ -3}_E[/mm] =
> [mm]\vektor{2 \\ -3}=[/mm] 20 [mm]\vektor{1 \\ 3}[/mm] + (-9) [mm]\vektor{2 \\ 7}[/mm]
Hallo,
daß Du diese Linearkombination meinst, konnte man Deinem geposteten Vektor [mm] \vektor{-9 \\20}_B [/mm] aber nicht entnehmen.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
