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| Aufgabe | Über die Elemente [mm] u_{1}, u_{2}, u_{3}, v_{4}, v_{5} [/mm] des [mm] R^{5} [/mm] ist folgendes bekannt:
[mm] u_{1}, u_{2}, u_{3} [/mm] ist Basis eines 3-dimensionalen Unterraums U; das System [mm] v_{4}, v_{5} [/mm] ist linear unabhängig; und [mm] v_{4}, v_{5} [/mm] liegen beide außerhalb von U.
Muss [mm] u_{1}, u_{2}, u_{3}, v_{4}, v_{5} [/mm] eine Basis von [mm] R^{5} [/mm] sein? (Beweis oder konkretes Gegenbeispiel) |
Ich war letzte Woche in der Vorlesung krank und habe das Ganze nicht ganz mitbekommen.
Wie beginne ich das Ganze?
Hat das was mit dem Dimensionsbegriff zu tun?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Do 27.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> Über die Elemente [mm]u_{1}, u_{2}, u_{3}, v_{4}, v_{5}[/mm] des
> [mm]R^{5}[/mm] ist folgendes bekannt:
> [mm]u_{1}, u_{2}, u_{3}[/mm] ist Basis eines 3-dimensionalen
> Unterraums U; das System [mm]v_{4}, v_{5}[/mm] ist linear
> unabhängig; und [mm]v_{4}, v_{5}[/mm] liegen beide außerhalb von U.
> Muss [mm]u_{1}, u_{2}, u_{3}, v_{4}, v_{5}[/mm] eine Basis von
> [mm]R^{5}[/mm] sein? (Beweis oder konkretes Gegenbeispiel)
> Ich war letzte Woche in der Vorlesung krank und habe das
> Ganze nicht ganz mitbekommen.
Tja, dann solltest du mal anfangen das nachzuarbeiten.
> Wie beginne ich das Ganze?
Schau dir die Definition von Basis und linearer Unabhängigkeit an!
> Hat das was mit dem Dimensionsbegriff zu tun?
Auch das. In einem Vektorraum haben alle Basen die gleiche Mächtigkeit (Anzahl von Elementen). Der [mm] $\IR^5$ [/mm] ist 5-dimensional, d.h. die Vektoren [mm] $u_1,...,u_5$ [/mm] bilden genau dann eine Basis von [mm] $\IR^5$, [/mm] wenn sie linear unabhängig sind. Aber muss das immer der Fall sein?
Gruß, Robert
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:10 Do 27.11.2008 | | Autor: | sethonator |
Hi Robert,
ich habe das soweit abgearbeitet und weiß auch, was die einzelnen Begrifflichkeiten zu bedeuten haben.
Also die Basis für einen Vektorraum ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
Um zu überprüfen, ob [mm] u_{1}, u_{2}, u_{3}, v_{4}, v_{5} [/mm] eine Bais von [mm] R^{5} [/mm] ist, muss man schauen, ob die Vektoren linear unabhängig sind.
Gegeben ist ja schon, dass [mm] u_{1}, u_{2}, u_{3} [/mm] unabhängig sind.
Aber ich bin überfragt mt [mm] v_{4}, v_{5}, [/mm] die liegen ja nicht in U.
Wie geht es hier weiter?
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wenn [mm] v_{1} [/mm] ,..., [mm] v_{3} \in [/mm] U (und linear undabh. voneinander)
und [mm] v_{4} [/mm] und [mm] v_{5} \not\in [/mm] U (und lin. unabh. voneinander)
sind die dann nicht automatisch linear unabhängig voneinander ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:46 Do 27.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Lenchen
Nein! v1 und v2 koennen lin unabh. sein aber z. Bsp v1+v2=u1
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:29 Do 27.11.2008 | | Autor: | Hav0c |
für mich stellt sich die frage bei der aufgabe: was bedeutet, dass v4 und v5 ausserhalb von U liegen?
entweder man beweist hier dass es immer eine basis ist oder man gibt ein konkretes gegenbeispiel.
nagut das hier ist eine Basis, weil: linear unabhängig
vektoren nach dem schema: [mm] \vektor{x1 \\ x2\\ x3\\ x4\\x5}
[/mm]
z.b. [mm] \vektor{1 \\ 0\\ 0\\ 0\\0}, \vektor{0 \\ 1\\ 0\\ 0\\0}, \vektor{0 \\ 0\\ 1\\ 0\\0}, \vektor{0 \\ 0\\ 0\\ 1\\0}, \vektor{0 \\ 0\\ 0\\ 0\\1}
[/mm]
kann denn z.b. v4 auch so aussehen [mm] \vektor{1 \\ 1\\ 0\\ 0\\0} [/mm] oder nicht? (thema kein element on U)
weil dann wäre ja lineare abhängigkeit möglich..!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Do 27.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast doch nur 3 Basisvektoren in U, z. Bsp deine ersten 3.
jetzt such 2 neue, die lin. unabh. von den 3 sind, aber trotzdem dann keine basis von V bilden.
Es ist gar nicht so schwer. Nimm erst mal ein beliebigen v1, nicht in U, dann konstruierr damit noch einen nicht in U, aber lin unabh. von v1 aber nicht lin unabh von den 3 u und v1
dann hast du ein Gegenbeispiel.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:48 Do 27.11.2008 | | Autor: | Hav0c |
die frage die sich mir stellt ist ja: was bedeutet es für v4 und v5 wenn sie nicht in U liegen sollen, sind dann x1 - x3 = 0 oder wie?!?!?
also [mm] \vektor{0 \\ 0\\ 0\\ x\\x} [/mm] ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Fr 28.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn dein U aus den ersten 3 basisvektoren besteht also x4, x5 =0 dann ist jeder Vektor, der bei x4 oder x5 oder bei beiden was stehen hat nicht in U, egal was bie x1,x2,x3 steht
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:09 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Hav0c |
ach stimmt, lol wie blöd ich bin^^.. so easy.. vielen dank leduart
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Also habe ich das richtig verstanden:
Ich nehme meine drei Basisvektoren
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] ; [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] ; [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
die sind ja linear unabhängig.
Dann suche ich mir beliebige [mm] v_{4} [/mm] und [mm] v_{5}
[/mm]
wie beispielsweise [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \\ 2 } [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 0 \\ 2 \\ 0 }
[/mm]
und schon habe ich bewiesen, dass [mm] u_{1}; u_{2}; u_{3}; v_{4}; v_{5} [/mm] nicht zwangsläufig eine Basis von [mm] R^{5} [/mm] sein muss?
Habe ich das richtig verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:31 Fr 28.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine 5 bilden ne Basis des [mm] R^5. [/mm] du musst sie schon geschickter waehlen damit du keine Basis hast.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:34 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Hav0c |
ich hab mir [mm] \vektor{0 \\ 1\\ 1\\ 1\\1} \vektor{1 \\ 1\\ 1\\ 1\\1}, [/mm] genommen dann sollte es stimmen oder?
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Hallo,
ja, das wäre ein Gegenbeispiel für die lin. Unabhängigkeit unter den vorgegebenen Bedingungen.
Gruß v. Angela
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Okay...
also zum einen müssen meine [mm] v_{i} [/mm] -Vektoren so gewählt werden, dass diese nicht linear unabhängig zu den [mm] u_{n} [/mm] sind.
Aber die [mm] v_{i} [/mm] -Vektoren untereinander müssen doch linear unabhänigig sein, oder?
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> Okay...
> also zum einen müssen meine [mm]v_{i}[/mm] -Vektoren so gewählt
> werden, dass diese nicht linear unabhängig zu den [mm]u_{n}[/mm]
> sind.
>
> Aber die [mm]v_{i}[/mm] -Vektoren untereinander müssen doch linear
> unabhänigig sein, oder?
Hallo,
ja, sonst gäb's ja nichts nachzudenken.
Gruß v. Angela
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Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe dann hast du eine Basis [mm] $\{u_{1},u_{2},u_{3}\}$ [/mm] von $U$ und [mm] \{v_{1},v_{2}\} [/mm] linear unabhängig, wobei [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] nicht in $U$ liegen, sich also nicht als Linearkombination von [mm] $\{u_{1},u_{2},u_{3}\}$ [/mm] darstellen lassen. Betrachte mal:
[mm] \lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}u_{1} +\lambda_{3}u_{2}+\lambda_{4}u_{3}=0. [/mm] So jetzt müssen alle [mm] \lambda [/mm] 's null werden, also auch [mm] \lambda_{1}. [/mm] Nimm mal an, es ist nicht Null führe das zum Widerspruch.
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