Basen, Kern, Bild und so < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Di 06.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Wieder mal eine Aufgabe, die ich einigermaßen gelöst habe und von euch jetzt gerne wissen möchte, ob das so richtig ist und ob es da vllt einen systematischen Lösungsweg gibt...
Also, die Aufgabenstellung:
Sei [mm] F:\IR^3\to\IR^2 [/mm] gegeben durch die Matrix [mm] \pmat{2&1&3\\-4&-2&-6}.
[/mm]
Bestimmen Sie Basen [mm] \cal{A} [/mm] = [mm] (u,v_1,v_2) [/mm] des [mm] \IR^3 [/mm] und [mm] \cal{B} [/mm] = (w,w') des [mm] \IR^2, [/mm] so dass Ker [mm] F=span(v_1,v_2), [/mm] Im F=span(w) und F(u)=w.
Ich habe da jetzt einfach mal drauflos gerechnet. Zuerst habe ich den Kern von F ausgerechnet. Irgendwie bin ich da aber nicht so klug draus geworden - ich habe ja die zwei Gleichungen:
[mm] 2x_1+x_2+3x_3=0
[/mm]
[mm] -2(2x_1+x_2+3x_3)=0
[/mm]
Aber was ist jetzt der ganze Kern?
Jedenfalls wären zwei linear unabhängige Vektoren des Kern:
[mm] v_1=\vektor{1\\1\\-1}
[/mm]
[mm] v_2=\vektor{2\\-1\\-1}
[/mm]
Aber woher weiß ich, ob das die beiden einzigen sind? Ist der Kern dann zweidimensional? Woher weiß ich das?
Naja, jedenfalls scheint es mir so hinzukommen, dass ich diese beiden Vektoren wirklich als die zwei gesuchten [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] nehmen kann.
Dann fehlt mir für [mm] \cal{A} [/mm] noch ein Basisvektor. Da ich die kanonische Basis des [mm] \IR^3 [/mm] kenne und auch den Basisergänzungssatz, kann ich dann einfach einen Vektor der kanonischen Basis noch hinzufügen (es ist doch egal, welchen, oder nicht???). Dann wähle ich z. B. [mm] u=\vektor{1\\0\\0}. [/mm]
Nun soll aber auch noch F(u)=w gelten. In meinem Fall wäre dann [mm] w=\vektor{2\\-4}. [/mm] Nach meiner Rechnung wäre Im [mm] F=\vektor{1\\-2}*\lambda, \lambda\in\IR, [/mm] also würe Im F=span(w) auch stimmen. Nun fehlt mir noch ein zweiter Basisvektor für [mm] \cal{B}. [/mm] Hier kann ich wiederum einen der kanonischen Basisvektoren des [mm] \IR^2 [/mm] hinzufügen, also z. B. [mm] w'=\vektor{1\\0}.
[/mm]
Das kommt doch alles so hin, oder ist da ein Fehler drin? Aber ist das die einzige Lösung? Wohl eher nicht, oder? Aber alle Lösungen kann man doch sicher auch nicht angeben. Oder vielleicht doch? Und gibt es da irgendein System, um diese Aufgabe zu lösen? Ich habe ja einfach nur rumprobiert.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:30 Mi 07.09.2005 | | Autor: | statler |
Guten Morgen liebe Christiane,
schön, daß du bis in die Nacht Mathe machst, ich fange dafür ganz früh an.
> Hallo!
> Wieder mal eine Aufgabe, die ich einigermaßen gelöst habe
> und von euch jetzt gerne wissen möchte, ob das so richtig
> ist und ob es da vllt einen systematischen Lösungsweg
> gibt...
>
> Also, die Aufgabenstellung:
>
> Sei [mm]F:\IR^3\to\IR^2[/mm] gegeben durch die Matrix
> [mm]\pmat{2&1&3\\-4&-2&-6}.[/mm]
>
> Bestimmen Sie Basen [mm]\cal{A}[/mm] = [mm](u,v_1,v_2)[/mm] des [mm]\IR^3[/mm] und
> [mm]\cal{B}[/mm] = (w,w') des [mm]\IR^2,[/mm] so dass Ker [mm]F=span(v_1,v_2),[/mm] Im
> F=span(w) und F(u)=w.
>
> Ich habe da jetzt einfach mal drauflos gerechnet. Zuerst
> habe ich den Kern von F ausgerechnet. Irgendwie bin ich da
> aber nicht so klug draus geworden - ich habe ja die zwei
> Gleichungen:
>
> [mm]2x_1+x_2+3x_3=0[/mm]
> [mm]-2(2x_1+x_2+3x_3)=0[/mm]
>
> Aber was ist jetzt der ganze Kern?
Na, das sind alle Vektoren [mm] (x_{1}, x_{2}, x_{3}), [/mm] deren Komponenten diesen beiden Gleichungen genügen, also die Menge der Lösungen des Gleichungssystems, aber als Vektoren hingeschrieben.
(Ich muß gerade an Faust denken, der sucht ja auch den Kern, allerdings den des Pudels.)
>
> Jedenfalls wären zwei linear unabhängige Vektoren des
> Kern:
>
> [mm]v_1=\vektor{1\\1\\-1}[/mm]
> [mm]v_2=\vektor{2\\-1\\-1}[/mm]
>
> Aber woher weiß ich, ob das die beiden einzigen sind? Ist
> der Kern dann zweidimensional? Woher weiß ich das?
> Naja, jedenfalls scheint es mir so hinzukommen, dass ich
> diese beiden Vektoren wirklich als die zwei gesuchten [mm]v_1[/mm]
> und [mm]v_2[/mm] nehmen kann.
Das sind natürlich nicht die einzigen, es war auch nicht nicht nach der Basis gefragt, sondern nach einer (beliebigen) Basis. Der Kern ist dann mindestens 2dimensional. 3dimensional kann er nicht sein, weil dann ja der ganze Raum auf Null abgebildet würde. Das ist aber offensichtlich nicht der Fall!
>
> Dann fehlt mir für [mm]\cal{A}[/mm] noch ein Basisvektor. Da ich die
> kanonische Basis des [mm]\IR^3[/mm] kenne und auch den
> Basisergänzungssatz, kann ich dann einfach einen Vektor der
> kanonischen Basis noch hinzufügen (es ist doch egal,
> welchen, oder nicht???). Dann wähle ich z. B.
> [mm]u=\vektor{1\\0\\0}.[/mm]
Der Basisergänzungssatz besagt doch nur, daß ich linear unabhängige Vektoren zu einer Basis ergänzen kann, oder wie habt ihr ihn formuliert? Mit welcher Bibel arbeitest du überhaupt? Welchen ich nehme, ist nicht völlig egal, denn es könnte ja sein, daß der eine oder andere Vektor der kanonischen Basis bereits im Kern liegt, ohne daß man das sofort sieht. Aber dein Vektor u liegt nicht im Kern, wie man durch Nachrechnen erkennt.
Geometrisch gesprochen ist der Kern eine Ebene, und u zeigt aus der Ebene raus.
>
> Nun soll aber auch noch F(u)=w gelten. In meinem Fall wäre
> dann [mm]w=\vektor{2\\-4}.[/mm] Nach meiner Rechnung wäre Im
> [mm]F=\vektor{1\\-2}*\lambda, \lambda\in\IR,[/mm] also würe Im
> F=span(w) auch stimmen. Nun fehlt mir noch ein zweiter
> Basisvektor für [mm]\cal{B}.[/mm] Hier kann ich wiederum einen der
> kanonischen Basisvektoren des [mm]\IR^2[/mm] hinzufügen, also z. B.
> [mm]w'=\vektor{1\\0}.[/mm]
>
Das kommt wirklich alles ganz prima hin, und weil es im anschaulichen Raum stattfindet, kann man es sich sogar vorstellen. Man könnte es sich auch nochmal in der schulischen Sprache mit Stütz- und Spannvektoren verklickern.
> Das kommt doch alles so hin, oder ist da ein Fehler drin?
> Aber ist das die einzige Lösung? Wohl eher nicht, oder?
> Aber alle Lösungen kann man doch sicher auch nicht angeben.
> Oder vielleicht doch? Und gibt es da irgendein System, um
> diese Aufgabe zu lösen? Ich habe ja einfach nur
> rumprobiert.
>
Das ist nicht die einzige Lösung (s. o.), und man kann auch nicht alle angeben, weil es so verteufelt viele Möglichkeiten gibt, sich eine Basis zu basteln. Gegen Rumprobieren ist überhaupt nichts zu sagen!
> Viele Grüße
> Bastiane
>
>
Heute wird es nochmal sehr sonnig in HH-Harburg! Ich geb was davon ab!
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 Mi 07.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Guten Morgen Dieter!
> schön, daß du bis in die Nacht Mathe machst, ich fange
> dafür ganz früh an.
Ach, so spät war es doch noch gar nicht. Ich hab schon mal noch später an Mathe gesessen... Aber ich hab auch schon mal früher angefangen, irgendwie klappt das diese Woche nur nicht so...
> > Hallo!
> > Wieder mal eine Aufgabe, die ich einigermaßen gelöst
> habe
> > und von euch jetzt gerne wissen möchte, ob das so richtig
> > ist und ob es da vllt einen systematischen Lösungsweg
> > gibt...
> >
> > Also, die Aufgabenstellung:
> >
> > Sei [mm]F:\IR^3\to\IR^2[/mm] gegeben durch die Matrix
> > [mm]\pmat{2&1&3\\-4&-2&-6}.[/mm]
> >
> > Bestimmen Sie Basen [mm]\cal{A}[/mm] = [mm](u,v_1,v_2)[/mm] des [mm]\IR^3[/mm] und
> > [mm]\cal{B}[/mm] = (w,w') des [mm]\IR^2,[/mm] so dass Ker [mm]F=span(v_1,v_2),[/mm] Im
> > F=span(w) und F(u)=w.
> >
> > Ich habe da jetzt einfach mal drauflos gerechnet. Zuerst
> > habe ich den Kern von F ausgerechnet. Irgendwie bin ich da
> > aber nicht so klug draus geworden - ich habe ja die zwei
> > Gleichungen:
> >
> > [mm]2x_1+x_2+3x_3=0[/mm]
> > [mm]-2(2x_1+x_2+3x_3)=0[/mm]
> >
> > Aber was ist jetzt der ganze Kern?
>
> Na, das sind alle Vektoren [mm](x_{1}, x_{2}, x_{3}),[/mm] deren
> Komponenten diesen beiden Gleichungen genügen, also die
> Menge der Lösungen des Gleichungssystems, aber als Vektoren
> hingeschrieben.
Ja, im Prinzip war mir das klar. Aber kann ich das nicht noch irgendwie anders angeben? In manchen Fällen geht das ja, weil es vielleicht nur endlich viele Vektoren sind oder irgendein System dahintersteckt. Hier könnte ich doch zum Beispiel noch eine Komponente in Abhängigkeit einer anderen schreiben. Aber die Aussage wäre dann wohl auch nicht anders? Also dann wüsste man auch nicht mehr?
> (Ich muß gerade an Faust denken, der sucht ja auch den
> Kern, allerdings den des Pudels.)
![[totlach]](/images/smileys/totlach.gif "[totlach]")
> > Jedenfalls wären zwei linear unabhängige Vektoren des
> > Kern:
> >
> > [mm]v_1=\vektor{1\\1\\-1}[/mm]
> > [mm]v_2=\vektor{2\\-1\\-1}[/mm]
> >
> > Aber woher weiß ich, ob das die beiden einzigen sind? Ist
> > der Kern dann zweidimensional? Woher weiß ich das?
> > Naja, jedenfalls scheint es mir so hinzukommen, dass
> ich
> > diese beiden Vektoren wirklich als die zwei gesuchten [mm]v_1[/mm]
> > und [mm]v_2[/mm] nehmen kann.
>
> Das sind natürlich nicht die einzigen, es war auch nicht
> nicht nach der Basis gefragt, sondern nach einer
> (beliebigen) Basis. Der Kern ist dann mindestens
> 2dimensional. 3dimensional kann er nicht sein, weil dann ja
> der ganze Raum auf Null abgebildet würde. Das ist aber
> offensichtlich nicht der Fall!
Und (mindestens) zweidimensional ist er, weil ich zwei linear unabhängige Vektoren gefunden habe, die im Kern liegen!?
> > Dann fehlt mir für [mm]\cal{A}[/mm] noch ein Basisvektor. Da ich die
> > kanonische Basis des [mm]\IR^3[/mm] kenne und auch den
> > Basisergänzungssatz, kann ich dann einfach einen Vektor der
> > kanonischen Basis noch hinzufügen (es ist doch egal,
> > welchen, oder nicht???). Dann wähle ich z. B.
> > [mm]u=\vektor{1\\0\\0}.[/mm]
>
> Der Basisergänzungssatz besagt doch nur, daß ich linear
> unabhängige Vektoren zu einer Basis ergänzen kann, oder wie
> habt ihr ihn formuliert? Mit welcher Bibel arbeitest du
> überhaupt? Welchen ich nehme, ist nicht völlig egal, denn
> es könnte ja sein, daß der eine oder andere Vektor der
> kanonischen Basis bereits im Kern liegt, ohne daß man das
> sofort sieht. Aber dein Vektor u liegt nicht im Kern, wie
> man durch Nachrechnen erkennt.
> Geometrisch gesprochen ist der Kern eine Ebene, und u
> zeigt aus der Ebene raus.
Also, meine Bibel ist der Gerd Fischer, also sein Buch Lineare Algebra... Dort steht beim Beweis des Basisergänzungssatz, dass man den Austaschsatz anwendet, und so eine Basis findet. Und der Austauschsatz lautet, dass ich, wenn ich eine Basis und eine linear unabhängige Familie von Vektoren habe, ich die Vektoren so austauschen kann, dass ich eine Basis erhalte, in der die linearunabhängigen Vektoren vorkommen.
Was habe ich da jetzt übersehen, wo einer der Vektoren im Kern liegen kann? Was muss ich dafür noch überprüfen? Könntest du mir das vielleicht noch kurz erklären?
> > Nun soll aber auch noch F(u)=w gelten. In meinem Fall wäre
> > dann [mm]w=\vektor{2\\-4}.[/mm] Nach meiner Rechnung wäre Im
> > [mm]F=\vektor{1\\-2}*\lambda, \lambda\in\IR,[/mm] also würe Im
> > F=span(w) auch stimmen. Nun fehlt mir noch ein zweiter
> > Basisvektor für [mm]\cal{B}.[/mm] Hier kann ich wiederum einen der
> > kanonischen Basisvektoren des [mm]\IR^2[/mm] hinzufügen, also z. B.
> > [mm]w'=\vektor{1\\0}.[/mm]
> >
> Das kommt wirklich alles ganz prima hin, und weil es im
> anschaulichen Raum stattfindet, kann man es sich sogar
> vorstellen. Man könnte es sich auch nochmal in der
> schulischen Sprache mit Stütz- und Spannvektoren
> verklickern.
>
> > Das kommt doch alles so hin, oder ist da ein Fehler drin?
> > Aber ist das die einzige Lösung? Wohl eher nicht, oder?
> > Aber alle Lösungen kann man doch sicher auch nicht angeben.
> > Oder vielleicht doch? Und gibt es da irgendein System, um
> > diese Aufgabe zu lösen? Ich habe ja einfach nur
> > rumprobiert.
> >
> Das ist nicht die einzige Lösung (s. o.), und man kann auch
> nicht alle angeben, weil es so verteufelt viele
> Möglichkeiten gibt, sich eine Basis zu basteln. Gegen
> Rumprobieren ist überhaupt nichts zu sagen!
Danke für deine Kommentare! 
> Heute wird es nochmal sehr sonnig in HH-Harburg! Ich geb
> was davon ab!
Ja, hier in Bonn auch, da brauchst du uns jedenfalls nichts abzugeben. 
Viele Grüße
Christiane aus Bonn
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 Mi 07.09.2005 | | Autor: | statler |
Jetzt könnte man fast schon sagen: Mahlzeit, Christiane!
>
> > schön, daß du bis in die Nacht Mathe machst, ich fange
> > dafür ganz früh an.
>
> Ach, so spät war es doch noch gar nicht. Ich hab schon mal
> noch später an Mathe gesessen... Aber ich hab auch schon
> mal früher angefangen, irgendwie klappt das diese Woche nur
> nicht so...
>
> > > Hallo!
> > > Wieder mal eine Aufgabe, die ich einigermaßen gelöst
> > habe
> > > und von euch jetzt gerne wissen möchte, ob das so richtig
> > > ist und ob es da vllt einen systematischen Lösungsweg
> > > gibt...
> > >
> > > Also, die Aufgabenstellung:
> > >
> > > Sei [mm]F:\IR^3\to\IR^2[/mm] gegeben durch die Matrix
> > > [mm]\pmat{2&1&3\\-4&-2&-6}.[/mm]
> > >
> > > Bestimmen Sie Basen [mm]\cal{A}[/mm] = [mm](u,v_1,v_2)[/mm] des [mm]\IR^3[/mm] und
> > > [mm]\cal{B}[/mm] = (w,w') des [mm]\IR^2,[/mm] so dass Ker [mm]F=span(v_1,v_2),[/mm] Im
> > > F=span(w) und F(u)=w.
> > >
> > > Ich habe da jetzt einfach mal drauflos gerechnet. Zuerst
> > > habe ich den Kern von F ausgerechnet. Irgendwie bin ich da
> > > aber nicht so klug draus geworden - ich habe ja die zwei
> > > Gleichungen:
> > >
> > > [mm]2x_1+x_2+3x_3=0[/mm]
> > > [mm]-2(2x_1+x_2+3x_3)=0[/mm]
> > >
> > > Aber was ist jetzt der ganze Kern?
> >
> > Na, das sind alle Vektoren [mm](x_{1}, x_{2}, x_{3}),[/mm] deren
> > Komponenten diesen beiden Gleichungen genügen, also die
> > Menge der Lösungen des Gleichungssystems, aber als Vektoren
> > hingeschrieben.
>
> Ja, im Prinzip war mir das klar. Aber kann ich das nicht
> noch irgendwie anders angeben? In manchen Fällen geht das
> ja, weil es vielleicht nur endlich viele Vektoren sind oder
> irgendein System dahintersteckt. Hier könnte ich doch zum
> Beispiel noch eine Komponente in Abhängigkeit einer anderen
> schreiben. Aber die Aussage wäre dann wohl auch nicht
> anders? Also dann wüsste man auch nicht mehr?
>
Natürlich kannst du auch schreiben: Der Kern ist die Menge der Vektoren ( [mm] x_{1}, -2x_{1}- 2x_{3}, x_{3}). [/mm] Dann kannst du 2 Komponenten frei wählen und erhältst die dritte in linearer Abhängigkeit von diesen beiden.
> > (Ich muß gerade an Faust denken, der sucht ja auch den
> > Kern, allerdings den des Pudels.)
>
>
> > > Jedenfalls wären zwei linear unabhängige Vektoren des
> > > Kern:
> > >
> > > [mm]v_1=\vektor{1\\1\\-1}[/mm]
> > > [mm]v_2=\vektor{2\\-1\\-1}[/mm]
> > >
> > > Aber woher weiß ich, ob das die beiden einzigen sind? Ist
> > > der Kern dann zweidimensional? Woher weiß ich das?
> > > Naja, jedenfalls scheint es mir so hinzukommen, dass
> > ich
> > > diese beiden Vektoren wirklich als die zwei gesuchten [mm]v_1[/mm]
> > > und [mm]v_2[/mm] nehmen kann.
> >
> > Das sind natürlich nicht die einzigen, es war auch nicht
> > nicht nach der Basis gefragt, sondern nach einer
> > (beliebigen) Basis. Der Kern ist dann mindestens
> > 2dimensional. 3dimensional kann er nicht sein, weil dann ja
> > der ganze Raum auf Null abgebildet würde. Das ist aber
> > offensichtlich nicht der Fall!
>
> Und (mindestens) zweidimensional ist er, weil ich zwei
> linear unabhängige Vektoren gefunden habe, die im Kern
> liegen!?
Ganz genau!
>
> > > Dann fehlt mir für [mm]\cal{A}[/mm] noch ein Basisvektor. Da ich die
> > > kanonische Basis des [mm]\IR^3[/mm] kenne und auch den
> > > Basisergänzungssatz, kann ich dann einfach einen Vektor der
> > > kanonischen Basis noch hinzufügen (es ist doch egal,
> > > welchen, oder nicht???). Dann wähle ich z. B.
> > > [mm]u=\vektor{1\\0\\0}.[/mm]
> >
> > Der Basisergänzungssatz besagt doch nur, daß ich linear
> > unabhängige Vektoren zu einer Basis ergänzen kann, oder wie
> > habt ihr ihn formuliert? Mit welcher Bibel arbeitest du
> > überhaupt? Welchen ich nehme, ist nicht völlig egal, denn
> > es könnte ja sein, daß der eine oder andere Vektor der
> > kanonischen Basis bereits im Kern liegt, ohne daß man das
> > sofort sieht. Aber dein Vektor u liegt nicht im Kern, wie
> > man durch Nachrechnen erkennt.
> > Geometrisch gesprochen ist der Kern eine Ebene, und u
> > zeigt aus der Ebene raus.
>
> Also, meine Bibel ist der Gerd Fischer, also sein Buch
> Lineare Algebra... Dort steht beim Beweis des
> Basisergänzungssatz, dass man den Austaschsatz anwendet,
> und so eine Basis findet. Und der Austauschsatz lautet,
> dass ich, wenn ich eine Basis und eine linear unabhängige
> Familie von Vektoren habe, ich die Vektoren so austauschen
> kann, dass ich eine Basis erhalte, in der die
> linearunabhängigen Vektoren vorkommen.
> Was habe ich da jetzt übersehen, wo einer der Vektoren im
> Kern liegen kann? Was muss ich dafür noch überprüfen?
> Könntest du mir das vielleicht noch kurz erklären?
Nimm mal F: [mm] \IR^{3} \to \IR^{2} [/mm] mit [mm] F(x_{1}, x_{2}, x_{3}) [/mm] = (0, [mm] x_{2}). [/mm] Dann ist der Kern die Ebene [mm] x_{2} [/mm] = 0, und (1, 0, 1) und (-1, 0, 1) bilden eine Basis des Kerns. Wenn du das zu einer Basis des [mm] \IR^{3} [/mm] ausbauen willst, kannst du nicht irgendeinen der kanonischen Basisvektoren nehmen, sondern du mußt einen ganz bestimmten nehmen, nämlich den, der aus dieser Ebene herausragt.
>
> > > Nun soll aber auch noch F(u)=w gelten. In meinem Fall wäre
> > > dann [mm]w=\vektor{2\\-4}.[/mm] Nach meiner Rechnung wäre Im
> > > [mm]F=\vektor{1\\-2}*\lambda, \lambda\in\IR,[/mm] also würe Im
> > > F=span(w) auch stimmen. Nun fehlt mir noch ein zweiter
> > > Basisvektor für [mm]\cal{B}.[/mm] Hier kann ich wiederum einen der
> > > kanonischen Basisvektoren des [mm]\IR^2[/mm] hinzufügen, also z. B.
> > > [mm]w'=\vektor{1\\0}.[/mm]
> > >
> > Das kommt wirklich alles ganz prima hin, und weil es im
> > anschaulichen Raum stattfindet, kann man es sich sogar
> > vorstellen. Man könnte es sich auch nochmal in der
> > schulischen Sprache mit Stütz- und Spannvektoren
> > verklickern.
> >
> > > Das kommt doch alles so hin, oder ist da ein Fehler drin?
> > > Aber ist das die einzige Lösung? Wohl eher nicht, oder?
> > > Aber alle Lösungen kann man doch sicher auch nicht angeben.
> > > Oder vielleicht doch? Und gibt es da irgendein System, um
> > > diese Aufgabe zu lösen? Ich habe ja einfach nur
> > > rumprobiert.
> > >
> > Das ist nicht die einzige Lösung (s. o.), und man kann auch
> > nicht alle angeben, weil es so verteufelt viele
> > Möglichkeiten gibt, sich eine Basis zu basteln. Gegen
> > Rumprobieren ist überhaupt nichts zu sagen!
>
> Danke für deine Kommentare!
>
> > Heute wird es nochmal sehr sonnig in HH-Harburg! Ich geb
> > was davon ab!
>
> Ja, hier in Bonn auch, da brauchst du uns jedenfalls nichts
> abzugeben.
>
> Viele Grüße
> Christiane aus Bonn
>
>
>
Ich versuche übrigens mehr und mehr, den Formeleditor zu benutzen. Da es kein WYSIWYG ist, habe ich immer etwas Muffe (das Alter halt).
Viele Grüße usw...
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:14 Mi 07.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
> Jetzt könnte man fast schon sagen: Mahlzeit, Christiane!
Na dann: Mahlzeit, Dieter. Und guten Appettit auch!
> > > > Dann fehlt mir für [mm]\cal{A}[/mm] noch ein Basisvektor. Da ich die
> > > > kanonische Basis des [mm]\IR^3[/mm] kenne und auch den
> > > > Basisergänzungssatz, kann ich dann einfach einen Vektor der
> > > > kanonischen Basis noch hinzufügen (es ist doch egal,
> > > > welchen, oder nicht???). Dann wähle ich z. B.
> > > > [mm]u=\vektor{1\\0\\0}.[/mm]
> > >
> > > Der Basisergänzungssatz besagt doch nur, daß ich linear
> > > unabhängige Vektoren zu einer Basis ergänzen kann, oder wie
> > > habt ihr ihn formuliert? Mit welcher Bibel arbeitest du
> > > überhaupt? Welchen ich nehme, ist nicht völlig egal, denn
> > > es könnte ja sein, daß der eine oder andere Vektor der
> > > kanonischen Basis bereits im Kern liegt, ohne daß man das
> > > sofort sieht. Aber dein Vektor u liegt nicht im Kern, wie
> > > man durch Nachrechnen erkennt.
> > > Geometrisch gesprochen ist der Kern eine Ebene, und
> u
> > > zeigt aus der Ebene raus.
> >
> > Also, meine Bibel ist der Gerd Fischer, also sein Buch
> > Lineare Algebra... Dort steht beim Beweis des
> > Basisergänzungssatz, dass man den Austaschsatz anwendet,
> > und so eine Basis findet. Und der Austauschsatz lautet,
> > dass ich, wenn ich eine Basis und eine linear unabhängige
> > Familie von Vektoren habe, ich die Vektoren so austauschen
> > kann, dass ich eine Basis erhalte, in der die
> > linearunabhängigen Vektoren vorkommen.
> > Was habe ich da jetzt übersehen, wo einer der Vektoren
> im
> > Kern liegen kann? Was muss ich dafür noch überprüfen?
> > Könntest du mir das vielleicht noch kurz erklären?
>
> Nimm mal F: [mm]\IR^{3} \to \IR^{2}[/mm] mit [mm]F(x_{1}, x_{2}, x_{3})[/mm]
> = (0, [mm]x_{2}).[/mm] Dann ist der Kern die Ebene [mm]x_{2}[/mm] = 0, und
> (1, 0, 1) und (-1, 0, 1) bilden eine Basis des Kerns. Wenn
> du das zu einer Basis des [mm]\IR^{3}[/mm] ausbauen willst, kannst
> du nicht irgendeinen der kanonischen Basisvektoren nehmen,
> sondern du mußt einen ganz bestimmten nehmen, nämlich den,
> der aus dieser Ebene herausragt.
Ja, das verstehe ich. Aber wie erkenne ich denn allgemein, welchen Basisvektor ich nehmen kann? Wäre es in meinem Fall mit allen drei gegangen? Wie hätte ich das überprüfen können?
> Ich versuche übrigens mehr und mehr, den Formeleditor zu
> benutzen. Da es kein WYSIWYG ist, habe ich immer etwas
> Muffe (das Alter halt).
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]") Sehr schön. Aber was bitte ist WYSIWYG? Ah: ![[]](/images/popup.gif) wieder was gelernt
Viele Grüße nach HH-Harburg
Christiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 Mi 07.09.2005 | | Autor: | statler |
das Wetter und meine Laune und deine Icons und überhaupt, kommt jetzt noch eine Antwort auf deine letzte Fragen.
> >
> > Nimm mal F: [mm]\IR^{3} \to \IR^{2}[/mm] mit [mm]F(x_{1}, x_{2}, x_{3})[/mm]
> > = (0, [mm]x_{2}).[/mm] Dann ist der Kern die Ebene [mm]x_{2}[/mm] = 0, und
> > (1, 0, 1) und (-1, 0, 1) bilden eine Basis des Kerns. Wenn
> > du das zu einer Basis des [mm]\IR^{3}[/mm] ausbauen willst, kannst
> > du nicht irgendeinen der kanonischen Basisvektoren nehmen,
> > sondern du mußt einen ganz bestimmten nehmen, nämlich den,
> > der aus dieser Ebene herausragt.
>
> Ja, das verstehe ich. Aber wie erkenne ich denn allgemein,
> welchen Basisvektor ich nehmen kann? Wäre es in meinem Fall
> mit allen drei gegangen? Wie hätte ich das überprüfen
> können?
>
In deinem Fall wäre es mit jedem der 3 gegangen! Der allgemeine Vektor deiner Ebene war doch [mm] (x_{1}, -2x_{1}-3x_{3}, x_{3}), [/mm] und man erkennt mehr oder weniger schnell, daß keiner der Standard-Basisvektoren diese Form hat. Die Ebene liegt halt so schief im Raum.
Präzise formuliert, muß es im Ergänzungssatz eben heißen "es gibt einen, den ich nehmen kann" und nicht "ich kann irgendeinen nehmen". In den Hamburger Rahmenplänen steht der schöne Satz: Mathematikunterricht ist immer auch Sprachförderung. Hinter dieser Aussage stehe ich voll und ganz.
Heute war ich in der Mensa, wie immer lecker.
Und tschüß
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Mi 07.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
...geht unsere Unterhaltung
> das Wetter und meine Laune und deine Icons und überhaupt,
> kommt jetzt noch eine Antwort auf deine letzte Fragen.
noch ein paar gefällig? ein paar "Icons": ![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]") ![[clown]](/images/smileys/clown.gif "[clown]") ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]") ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") ![[tuer]](/images/smileys/tuer.gif "[tuer]") - mehr fällt mir gerade nicht ein...
> > > Nimm mal F: [mm]\IR^{3} \to \IR^{2}[/mm] mit [mm]F(x_{1}, x_{2}, x_{3})[/mm]
> > > = (0, [mm]x_{2}).[/mm] Dann ist der Kern die Ebene [mm]x_{2}[/mm] = 0, und
> > > (1, 0, 1) und (-1, 0, 1) bilden eine Basis des Kerns. Wenn
> > > du das zu einer Basis des [mm]\IR^{3}[/mm] ausbauen willst, kannst
> > > du nicht irgendeinen der kanonischen Basisvektoren nehmen,
> > > sondern du mußt einen ganz bestimmten nehmen, nämlich den,
> > > der aus dieser Ebene herausragt.
> >
> > Ja, das verstehe ich. Aber wie erkenne ich denn allgemein,
> > welchen Basisvektor ich nehmen kann? Wäre es in meinem Fall
> > mit allen drei gegangen? Wie hätte ich das überprüfen
> > können?
> >
> In deinem Fall wäre es mit jedem der 3 gegangen! Der
> allgemeine Vektor deiner Ebene war doch [mm](x_{1}, -2x_{1}-3x_{3}, x_{3}),[/mm]
> und man erkennt mehr oder weniger schnell, daß keiner der
> Standard-Basisvektoren diese Form hat. Die Ebene liegt halt
> so schief im Raum.
>
> Präzise formuliert, muß es im Ergänzungssatz eben heißen
> "es gibt einen, den ich nehmen kann" und nicht "ich kann
> irgendeinen nehmen".
Und wie erkenne ich, ob es einen gibt? Muss ich für jeden theoretisch möglichen dann die lineare Abhängigkeit prüfen?
> In den Hamburger Rahmenplänen steht
> der schöne Satz: Mathematikunterricht ist immer auch
> Sprachförderung. Hinter dieser Aussage stehe ich voll und
> ganz.
Wir wurden mal in einer Anaklausur darauf hingewiesen, dass bei der Aufgabe, wo etwas von "mit Worten erklären" (also nicht direkt "mathematisch") korrekte deutsche Sprache erwünscht wäre, also Sätze mit "Subjekt, Prädikat, Objekt".
> Heute war ich in der Mensa, wie immer lecker.
Ich auch - hier gab's Camembert.
Viele Grüße
Christiane
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 Mi 07.09.2005 | | Autor: | statler |
> ...geht unsere Unterhaltung
>
> > das Wetter und meine Laune und deine Icons und überhaupt,
> > kommt jetzt noch eine Antwort auf deine letzte Fragen.
>
> noch ein paar gefällig? ein paar "Icons":
> -
> mehr fällt mir gerade nicht ein...
>
> > > > Nimm mal F: [mm]\IR^{3} \to \IR^{2}[/mm] mit [mm]F(x_{1}, x_{2}, x_{3})[/mm]
> > > > = (0, [mm]x_{2}).[/mm] Dann ist der Kern die Ebene [mm]x_{2}[/mm] = 0, und
> > > > (1, 0, 1) und (-1, 0, 1) bilden eine Basis des Kerns. Wenn
> > > > du das zu einer Basis des [mm]\IR^{3}[/mm] ausbauen willst, kannst
> > > > du nicht irgendeinen der kanonischen Basisvektoren nehmen,
> > > > sondern du mußt einen ganz bestimmten nehmen, nämlich den,
> > > > der aus dieser Ebene herausragt.
> > >
> > > Ja, das verstehe ich. Aber wie erkenne ich denn allgemein,
> > > welchen Basisvektor ich nehmen kann? Wäre es in meinem Fall
> > > mit allen drei gegangen? Wie hätte ich das überprüfen
> > > können?
> > >
> > In deinem Fall wäre es mit jedem der 3 gegangen! Der
> > allgemeine Vektor deiner Ebene war doch [mm](x_{1}, -2x_{1}-3x_{3}, x_{3}),[/mm]
> > und man erkennt mehr oder weniger schnell, daß keiner der
> > Standard-Basisvektoren diese Form hat. Die Ebene liegt halt
> > so schief im Raum.
> >
> > Präzise formuliert, muß es im Ergänzungssatz eben heißen
> > "es gibt einen, den ich nehmen kann" und nicht "ich kann
> > irgendeinen nehmen".
>
> Und wie erkenne ich, ob es einen gibt? Muss ich für jeden
> theoretisch möglichen dann die lineare Abhängigkeit
> prüfen?
Hier geht's los, Christiane, und die Antwort lautet: Im Prinzip ja, deswegen der Betreff. Jetzt der Trost: Solange du in endlich-dimensionalen Räumen unterwegs bist, handelt es sich ja um endliche Mengen, und man kann das alles in endlicher Zeit prüfen; die Dauer hängt nur von der Rechengeschwindigkeit ab. Für einen Reinen Mathematiker wie mich ist das völlig ausreichend, ich bin damit wunschlos glücklich hahaha.
> > In den Hamburger Rahmenplänen steht
> > der schöne Satz: Mathematikunterricht ist immer auch
> > Sprachförderung. Hinter dieser Aussage stehe ich voll und
> > ganz.
>
> Wir wurden mal in einer Anaklausur darauf hingewiesen, dass
> bei der Aufgabe, wo etwas von "mit Worten erklären" (also
> nicht direkt "mathematisch") korrekte deutsche Sprache
> erwünscht wäre, also Sätze mit "Subjekt, Prädikat, Objekt".
>
>
> > Heute war ich in der Mensa, wie immer lecker.
> Ich auch - hier gab's Camembert.
>
> Viele Grüße
> Christiane
>
Bis zur nächsten Runde
Dieter
|
|
|
|
