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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 Mo 06.07.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | In [mm] \IR^{2} [/mm] seien folgende zwei Basen definiert: Die alte Basis sei B = {(1, 3),(3, −1)}, die neue Basis sei die kanonische Basis E = {(1, 0),(0, 1)}.
a) Geben Sie die Matrix S für den Koordinatenwechsel von B zu E und die Matrix [mm] S^{-1} [/mm] für den Koordinatenwechsel von E zu B an.
b) Geben Sie mit Hilfe von S und [mm] S^{-1} [/mm] die Matrix AL in der Basis B und die Matrix [mm] A_{L}˜ [/mm] in der Basis E der linearen Abbildung L : [mm] \IR^{2} [/mm] → [mm] \IR^{2} [/mm] an, die definiert ist als die Spiegelung an der Geraden x2 = 3x1.
(Denken Sie daran, wenn Sie die allgemeine Spiegelungsmatrix für beliebige Geraden nutzen, müssen
Sie diese auch beweisen!) |
a)
Ich schreibe die Basis B in der Matrixform:
[mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 3 & -1 }
[/mm]
Ich erhalte also für
S = [mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 3 & -1 }
[/mm]
[mm] S^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 0,1 & 0,3 \\ 0,3 & -0,1 }
[/mm]
b) Die Gerade y=3x geht durch (0;0) und hat Steigung von 3.
Bei der Spiegelung bleibt (1;3) erhalten und aus
(3;-1) wird (-3 ; 1 ) , also das negative davon.
Aus dem Vektor, der bezüglich Basis B die Koordinaten a;b hat, wird
also ( a ; -b). Damit ist die Matrix bzgl. B
[mm] A_{L} \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }
[/mm]
und [mm] A_{L}˜ [/mm] wäre dann
S * [mm] A_{L} [/mm] * [mm] S^{-1} [/mm] =
[mm] \pmat{ -0,8 & 0,6 \\ 0,6 & 0,8 }
[/mm]
Ist meine Vorgehensweise richtig?
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> In [mm]\IR^{2}[/mm] seien folgende zwei Basen definiert: Die alte
> Basis sei B = {(1, 3),(3, −1)}, die neue Basis sei die
> kanonische Basis E = {(1, 0),(0, 1)}.
>
> a) Geben Sie die Matrix S für den Koordinatenwechsel von B
> zu E und die Matrix [mm]S^{-1}[/mm] für den Koordinatenwechsel von
> E zu B an.
>
> b) Geben Sie mit Hilfe von S und [mm]S^{-1}[/mm] die Matrix AL in
> der Basis B und die Matrix [mm]A_{L}˜[/mm] in der Basis E der
> linearen Abbildung L : [mm]\IR^{2}[/mm] → [mm]\IR^{2}[/mm] an, die
> definiert ist als die Spiegelung an der Geraden x2 = 3x1.
>
> (Denken Sie daran, wenn Sie die allgemeine
> Spiegelungsmatrix für beliebige Geraden nutzen, müssen
> Sie diese auch beweisen!)
> a)
> Ich schreibe die Basis B in der Matrixform:
> [mm]\pmat{ 1 & 3 \\ 3 & -1 }[/mm]
>
> Ich erhalte also für
> S = [mm]\pmat{ 1 & 3 \\ 3 & -1 }[/mm]
> [mm]S^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ 0,1 & 0,3 \\ 0,3 & -0,1 }[/mm]
>
>
> b) Die Gerade y=3x geht durch (0;0) und hat Steigung von
> 3.
> Bei der Spiegelung bleibt (1;3) erhalten und aus
> (3;-1) wird (-3 ; 1 ) , also das negative davon.
>
> Aus dem Vektor, der bezüglich Basis B die Koordinaten a;b
> hat, wird
> also ( a ; -b). Damit ist die Matrix bzgl. B
> [mm]A_{L} \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }[/mm]
>
> und [mm]A_{L}˜[/mm] wäre dann
> S * [mm]A_{L}[/mm] * [mm]S^{-1}[/mm] =
> [mm]\pmat{ -0,8 & 0,6 \\ 0,6 & 0,8 }[/mm]
>
> Ist meine Vorgehensweise richtig?
Hallo,
ja.
(Das Produkt am Ende habe ich nicht nachgerechnet.)
LG Angela
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