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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Mi 16.12.2009 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Sei $V$ ein $K$-Vektorraum der Dimension $n < [mm] \infty [/mm] $ und
$S = [mm] (s_{ji})_{1\le i,j \le n} \in M_n(K)$. [/mm]
Es sei weiter eine [mm] $v_1,...,v_n$ [/mm] eine Basis von V und für $i=1,...,n$ sei
[mm] $w_i [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} s_{ji}v_j [/mm] $
Zeigen Sie: [mm] $w_1,...,w_n$ [/mm] ist eine Basis von $V [mm] \gdw [/mm] S [mm] \in Gl_n(K) [/mm] $ |
Hallo!
Denke mal hier ist mit $S$ eine Permutationsgruppe gemeint?!
Determinanten sind noch nicht so weit "bekannt", dass man damit arbeiten könnte.
Naja mal zu meiner vorläufigen Lösung:
Sei [mm] $v_1,...,v_n [/mm] =: B$ und [mm] $M_B$ [/mm] die Darstellungsmatrix von $B$.
Sei [mm] $w_1,...,w_n [/mm] =: W$ und [mm] $M_W$ [/mm] die Darstellungsmatrix von $W$
Sei [mm] $M_S [/mm] =: [mm] \summe_{j=1}^{n} s_{ji}$
[/mm]
Kann ich das so machen? Muss ich das irgendwie begründen?
Also kann ich [mm] $w_i [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} s_{ji}v_j [/mm] $ mit meinen Definitionen darstellen als [mm] $M_W [/mm] = [mm] M_S [/mm] * [mm] M_B$
[/mm]
Äquivalenzbeweis: [mm] $w_1,...,w_n$ [/mm] ist eine Basis von $V [mm] \gdw [/mm] S [mm] \in Gl_n(K) [/mm] $
$" [mm] \Rightarrow [/mm] "$
[mm] $M_W [/mm] = [mm] M_S [/mm] * [mm] M_B$ [/mm] lässt sich umformen zu [mm] $M_W [/mm] * [mm] M_B^{-1}= M_S$
[/mm]
Da [mm] $M_W$ [/mm] und [mm] $M_B$ [/mm] Basen darstellen, das Inverse einer Basis wieder eine Basis ist und das Produkt zweier Basen ebenfalls wieder eine Basis ist, folgt daraus [mm] $M_S$ [/mm] ist ebenfalls eine Basis.
Damit ist [mm] $M_S$ [/mm] maximal linear unabhängiges Erzeugendsystem mit dem Rang n und damit eine $ n [mm] \times [/mm] n $ Matrix, also nach Definition invertierbar. [mm] $\Rightarrow [/mm] S [mm] \in Gl_n(K)$ [/mm]
$" [mm] \Leftarrow [/mm] "$
[mm] $M_S$ [/mm] ist invertierbar. [mm] \Rightarrow $M_S$ [/mm] ist linear unabhängiges EZS.
Problem: Wie zeige ich sinnvoll, dass [mm] M_S [/mm] eine $ n [mm] \times [/mm] n $ Matrix ist? Kann ja genau so gut eine $ m [mm] \times [/mm] m $ Matrix sein mit $m < n$ und damit wäre sie keine Basis von $V$. Habe folgendes versucht:
[mm] $w_i [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} s_{ji}v_j [/mm] $ ist in der Aufgabenstellung vorgegeben.
Hätte [mm] $M_S$ [/mm] nicht den Rang $n$, wäre die Multiplikation mit einer Basis mit Rang $n$ nicht möglich, das wäre ein Widerspruch zur Aufgabenstellung.
Aus [mm] $rg(M_S)=n$ [/mm] und der linearen Unabhängigkeit von [mm] $M_S$ [/mm] folgt:
[mm] $M_S$ [/mm] ist eine Basis von V und [mm] $M_W$ [/mm] ist somit das Produkt zweier Basen von V. Damit folgt weiter: [mm] $M_W$ [/mm] ist ebenfalls Basis von $V$.
[mm] $\Rightarrow w_1,...,w_n$ [/mm] ist eine Basis von $V$
[mm] $w_1,...,w_n$ [/mm] ist eine Basis von $V [mm] \gdw [/mm] S [mm] \in Gl_n(K) [/mm] $ gezeigt.
q.e.d.
Anmerkung: Bin etwas verunsichert durch diese Permutationsgruppe. Habe ich irgendetwas in dem Zusammenhang nicht berücksichtigt? Bin damit noch nicht so gut vertraut.
Vielen, vielen Dank schonmal!!
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> Sei [mm]V[/mm] ein [mm]K[/mm]-Vektorraum der Dimension [mm]n < \infty[/mm] und
> [mm]S = (s_{ji})_{1\le i,j \le n} \in M_n(K)[/mm].
> Es sei weiter eine [mm]v_1,...,v_n[/mm] eine Basis von V und für
> [mm]i=1,...,n[/mm] sei
>
> [mm]w_i = \summe_{j=1}^{n} s_{ji}v_j[/mm]
>
> Zeigen Sie: [mm]w_1,...,w_n[/mm] ist eine Basis von [mm]V \gdw S \in Gl_n(K)[/mm]
>
> Hallo!
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> Denke mal hier ist mit [mm]S[/mm] eine Permutationsgruppe gemeint?!
Nein, sondern so, wie's dasteht: eine nxn-Matrix mit Einträgen aus dem Körper K.
Die Aufgabe mal in ein konkretes Beispiel übersetzt.
Der [mm] \IR^2 [/mm] ist ein VR der Dimension 2 über [mm] \IR, S:=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] eine invertierbare 2x2-Matrix, und [mm] (\vektor{1\\6}, \vektor{1\\5}) [/mm] eine Basis des [mm] \IR^2.
[/mm]
Die Aussage (Rückrichtung):
Es ist [mm] w_1:=1*\vektor{1\\6}+3 \vektor{1\\5}, w_2:=2\vektor{1\\6}+4 \vektor{1\\5} [/mm] ebenfalls eine Basis des [mm] \IR^2.
[/mm]
> Determinanten sind noch nicht so weit "bekannt", dass man
> damit arbeiten könnte.
>
> Naja mal zu meiner vorläufigen Lösung:
>
>
> Sei [mm]v_1,...,v_n =: B[/mm] und [mm]M_B[/mm] die Darstellungsmatrix von [mm]B[/mm].
> Sei [mm]w_1,...,w_n =: W[/mm] und [mm]M_W[/mm] die Darstellungsmatrix von [mm]W[/mm]
> Sei [mm]M_S =: \summe_{j=1}^{n} s_{ji}[/mm]
An dieser Stelle paßt etwas nicht mehr.
Du summierst hier die Elemente der i-ten Spalte der Matrix S.
In meinem Beispiel oben wäre ich nun etwas ratlos, ob [mm] M_S=4 [/mm] oder =6 sein soll.
Gruß v. Angela
>
> Kann ich das so machen? Muss ich das irgendwie begründen?
>
> Also kann ich [mm]w_i = \summe_{j=1}^{n} s_{ji}v_j[/mm] mit meinen
> Definitionen darstellen als [mm]M_W = M_S * M_B[/mm]
>
> Äquivalenzbeweis: [mm]w_1,...,w_n[/mm] ist eine Basis von [mm]V \gdw S \in Gl_n(K)[/mm]
>
> [mm]" \Rightarrow "[/mm]
>
> [mm]M_W = M_S * M_B[/mm] lässt sich umformen zu [mm]M_W * M_B^{-1}= M_S[/mm]
>
> Da [mm]M_W[/mm] und [mm]M_B[/mm] Basen darstellen, das Inverse einer Basis
> wieder eine Basis ist und das Produkt zweier Basen
> ebenfalls wieder eine Basis ist, folgt daraus [mm]M_S[/mm] ist
> ebenfalls eine Basis.
> Damit ist [mm]M_S[/mm] maximal linear unabhängiges Erzeugendsystem
> mit dem Rang n und damit eine [mm]n \times n[/mm] Matrix, also nach
> Definition invertierbar. [mm]\Rightarrow S \in Gl_n(K)[/mm]
>
>
> [mm]" \Leftarrow "[/mm]
>
> [mm]M_S[/mm] ist invertierbar. [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]M_S[/mm] ist linear
> unabhängiges EZS.
>
> Problem: Wie zeige ich sinnvoll, dass [mm]M_S[/mm] eine [mm]n \times n[/mm]
> Matrix ist? Kann ja genau so gut eine [mm]m \times m[/mm] Matrix
> sein mit [mm]m < n[/mm] und damit wäre sie keine Basis von [mm]V[/mm]. Habe
> folgendes versucht:
>
> [mm]w_i = \summe_{j=1}^{n} s_{ji}v_j[/mm] ist in der
> Aufgabenstellung vorgegeben.
> Hätte [mm]M_S[/mm] nicht den Rang [mm]n[/mm], wäre die Multiplikation mit
> einer Basis mit Rang [mm]n[/mm] nicht möglich, das wäre ein
> Widerspruch zur Aufgabenstellung.
>
> Aus [mm]rg(M_S)=n[/mm] und der linearen Unabhängigkeit von [mm]M_S[/mm]
> folgt:
>
> [mm]M_S[/mm] ist eine Basis von V und [mm]M_W[/mm] ist somit das Produkt
> zweier Basen von V. Damit folgt weiter: [mm]M_W[/mm] ist ebenfalls
> Basis von [mm]V[/mm].
>
> [mm]\Rightarrow w_1,...,w_n[/mm] ist eine Basis von [mm]V[/mm]
>
> [mm]w_1,...,w_n[/mm] ist eine Basis von [mm]V \gdw S \in Gl_n(K)[/mm]
> gezeigt.
>
> q.e.d.
>
> Anmerkung: Bin etwas verunsichert durch diese
> Permutationsgruppe. Habe ich irgendetwas in dem
> Zusammenhang nicht berücksichtigt? Bin damit noch nicht so
> gut vertraut.
>
> Vielen, vielen Dank schonmal!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:02 Do 17.12.2009 | | Autor: | chesn |
jaa da hab ich mich wohl durch die letzte vorlesung verwirren lassen in der es ausschließlich um gewisse permutationen "S" ging.
werd nochmal ein bisschen rumbasteln, sollte ja kein problem sein solang der rest ok ist.
vielen dank nochmal!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 Do 17.12.2009 | | Autor: | chesn |
was hab ich da auch für einen mist verzapft... :D
ersetze also [mm] $M_S$ [/mm] durch $ S $ und streiche die def. [mm] "$=:M_S$"
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:46 Do 17.12.2009 | | Autor: | chesn |
achja und S ist ja gemäß aufgabenstellung eine nxn matrix... hab ich auch irgendwie verpeilt.
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