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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 So 19.08.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Welche der folgenden Teilmengen bilden Basen der angegebenen Vektorräume?
[mm] \{1,1+z,1+2z+z^2 \} \subseteq \IR[z]_{<= 2} [/mm] |
Hallo,
Ich weiß nicht so recht, wie ich das bei Polynome machen kann.
Sonst bei vektoren schreibe ich diese in eine Matrix und schaue mir dann den Rank an.
1 * [mm] \lambda_1 [/mm] + [mm] (1+z)*\lambda_2 [/mm] + [mm] (1+2z+z^2) [/mm] * [mm] \lambda_3 [/mm] = [mm] p_0 [/mm] + [mm] p_1 [/mm] z + [mm] p_2 z^2
[/mm]
ZZ.: [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm] =0
[mm] \lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] + 3z [mm] *(\lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3) [/mm] + [mm] z^2 *(\lambda_3) =p_0 [/mm] + [mm] p_1 [/mm] z + [mm] p_2 z^2
[/mm]
Koeffizientenvergleich:
[mm] \lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] = [mm] p_0
[/mm]
[mm] 3*(\lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3) =p_1
[/mm]
[mm] \lambda_3=p_2
[/mm]
Nun: [mm] 3*(\lambda_2 +p_2) =p_1
[/mm]
<=> [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \frac{p_1 - 3p_2}{3}
[/mm]
Und: [mm] \lambda_1 [/mm] + [mm] \frac{p_1 - 3 p_2}{3} [/mm] + [mm] p_2 [/mm] =0
<=> [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] p_2 [/mm] - [mm] \frac{p_1 - 3 p_2}{ 3} [/mm]
Bin ich da falsch unterwegs?
LG,
quasimo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 So 19.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Also der Raum ist ja 3-dimensional. Daher würde es reichen zu zeigen, dass die 3 Vektoren linear unabhängig sind. Du hast irgendwie einen Mix gemacht, du willst wohl zeigen, dass sie linear unabhängig sind (wegen [mm] \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0), [/mm] aber gleichzeitig löst du nicht [mm] \lambda_1*1+\lambda_2*(z+1)*\lambda_3*(1+2z+z^2)=0, [/mm] sondern ...=einem beliebigem Polynom [mm] p_0+p_1z+p_2z^2.
[/mm]
Nimm statt deinem p-Polynom einfach das Nullpolynom. Dann fällt die Lösung auch leichter.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 So 19.08.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo,
Danke für die Antwort.
Ja, das hat sich in meinen Gehirn vermischt.
$ [mm] \lambda_1\cdot{}1+\lambda_2\cdot{}(z+1)\cdot{}\lambda_3\cdot{}(1+2z+z^2)=0, [/mm] $
ZZ.:$ [mm] \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0 [/mm] $
[mm] \lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * z + [mm] \lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] + [mm] 2z*\lambda_3 [/mm] + [mm] z^3 \lambda_3 [/mm] =0 + [mm] 0*z+0*z^2
[/mm]
Darf ich hier auch einen Koeffizientenvergleich machen?
$ [mm] \lambda_1 [/mm] $ + $ [mm] \lambda_2 [/mm] $ + $ [mm] \lambda_3 [/mm] $ = 0
[mm] 3\cdot{}(\lambda_2 +\lambda_3) [/mm] =0
$ [mm] \lambda_3=0$
[/mm]
<=> [mm] 3\cdot{}(\lambda_2 [/mm] + 0) =0
<=> [mm] \lambda_2 [/mm] =0
$ [mm] \lambda_1 [/mm] $ + $ [mm] \lambda_2 [/mm] $ + $ [mm] \lambda_3 [/mm] $ = 0
[mm] \lambda_1 [/mm] =0
Passt oder?
LG
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Hallo quasimo,
> Hallo,
> Danke für die Antwort.
>
> Ja, das hat sich in meinen Gehirn vermischt.
>
> [mm]\lambda_1\cdot{}1+\lambda_2\cdot{}(z+1)\cdot{}\lambda_3\cdot{}(1+2z+z^2)=0,[/mm]
> ZZ.:[mm] \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0[/mm]
>
> [mm]\lambda_1[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] * z + [mm]\lambda_2[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] +
> [mm]2z*\lambda_3[/mm] + [mm]z^3 \lambda_3[/mm] =0 + [mm]0*z+0*z^2[/mm]
> Darf ich hier auch einen Koeffizientenvergleich machen?
Ja.
> [mm]\lambda_1[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] = 0
> [mm]3\cdot{}(\lambda_2 +\lambda_3)[/mm] =0
> [mm]\lambda_3=0[/mm]
>
> <=> [mm]3\cdot{}(\lambda_2[/mm] + 0) =0
> <=> [mm]\lambda_2[/mm] =0
>
> [mm]\lambda_1[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] = 0
> [mm]\lambda_1[/mm] =0
>
> Passt oder?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> LG
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:34 So 19.08.2012 | | Autor: | quasimo |
Danke MathePower für die Vergewisserung und danke Teufel für den richtigen Ansatz.
LG
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