Basen bestimmen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Mi 06.07.2005 | | Autor: | michael7 |
Hallo zusammen,
folgende Aufgabe:
Gegeben sei
[mm]A=\pmat{-2&3&2&3\\-3&5&0&1\\1&2&-2&-2}[/mm].
Bestimmen Sie Basen A von [mm] $\IR^4$ [/mm] und B von [mm] $\IR^3$ [/mm] mit
[mm]M^A_B(\phi_A)=\pmat{1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0}[/mm].
Mir ist klar, wie ich [mm] $M^A_B(\phi_A)$ [/mm] bestimme, falls die Basen A und B gegeben sind. Aber wie gehe ich in dieser Aufgabe den umgekehrten Weg am geschicktesten an?
Viele Gruesse
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 Mi 06.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
das kommt jetzt ganz darauf an, was ihr schon hattet.
eine Möglichkeit wäre es : eine Basis des Kernes zu bestimmen und dann mit zwei (linear unabhängigen) Eigenvektoren des Eigenwertes 1 zu ergänzen. (Also noch eine Basis des Eigenraumes finden)
eine andere, aber kompliziertere Möglichkeit würde über das umgekehrte Denken beim Gauß gehen, also müsstest du die beiden Matrizen bestimmen, die A die andere Matrix machen und diese dann mit Hilfe des Transformationssatzes als Basistrafo interpretieren - dann ergeben sich deine neuen Basisvektoren durch einsetzen in den Basistrafo.
ich lasse hier aber mal auf "teilweise beantwortet" falls ich eine wesentliche Möglichkeit übersehe..
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Mi 06.07.2005 | | Autor: | michael7 |
Hallo,
danke fuer die schnelle Antwort!
> das kommt jetzt ganz darauf an, was ihr schon hattet.
>
> eine Möglichkeit wäre es : eine Basis des Kernes zu
> bestimmen und dann mit zwei (linear unabhängigen)
> Eigenvektoren des Eigenwertes 1 zu ergänzen. (Also noch
> eine Basis des Eigenraumes finden)
Denke eher nicht, dass ich das verwenden darf.
> eine andere, aber kompliziertere Möglichkeit würde über das
> umgekehrte Denken beim Gauß gehen, also müsstest du die
> beiden Matrizen bestimmen, die A die andere Matrix machen
> und diese dann mit Hilfe des Transformationssatzes als
> Basistrafo interpretieren - dann ergeben sich deine neuen
> Basisvektoren durch einsetzen in den Basistrafo.
Also unser Tutor hat in der Uebungsgruppe folgendes gemacht:
[mm]\pmat{1&0&0&-2&3&2&3\\0&1&0&-3&5&0&1\\0&0&1&1&2&-2&-2}[/mm]
Mit Gauss auf Zeilenstufenform bringen:
[mm]\pmat{0&0&1&-1&2&-2&-2\\0&1&-3&0&-1&6&7\\1&-1&1&0&0&0&0}[/mm]
In den ersten drei Spalten kann man nun anscheinend spaltenweise die Vektoren ablesen, die die Basis A bilden:
[mm]A = \left\{\vektor{0\\0\\1}, \vektor{0\\1\\-1}, \vektor{1\\-3\\1}\right\}[/mm]
Dann muesste ich doch jetzt diese Vektoren an [mm] $M^A_B(\phi_A)$ [/mm] dranmultiplizieren koennen, um Vektoren bezueglich der Basis B zu erhalten. Aber dann muessten die Vektoren von A doch vier Komponenten enthalten, da ich sonst die Matrixmultiplikation gar nicht durchfuehren kann. Irgendwie stimmen da wohl meine Aufzeichnungen nicht.
Koennt ihr mir vielleicht noch etwas genauer erklaeren, was ich da denn genau machen muss?
Danke, Michael
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Mi 06.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Joah,
da ist ein bischen was falsch dran.
Ich empfehle mal einen Blick in den Fischer oder ähnliche Literatur - oder zur Not einfach mal den Tutor löchern, warum denn alles genau so klappt, wie er sagt...
Ich liefer dir jetzt mal nur ein Rechenverfahren :
Du kennst den Transformationssatz?
Gut, dann weißt du ja, dass es TrafoMatrizen S und T gibt, so dass:
$ [mm] S*A*T^{-1}=\pmat{1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0} [/mm] $ , also T eine 4x4 und S eine 3x3 Matrix.
Und diese musst du nun finden, denn die Basisvektoren sind die Spaltenvektoren von $ [mm] S^{-1} [/mm] $ (für B) und $ [mm] T^{-1} [/mm] $ (für A)
Nun zum Rechenverfahren : es läuft in zwei Schritten:
Zuerst, wie du schon gemacht hast : S ausrechnen, dazu durch Zeilenumformungen:
$ [mm] \pmat{1&0&0&-2&3&2&3\\0&1&0&-3&5&0&1\\0&0&1&1&2&-2&-2} [/mm] $ zu $ [mm] \pmat{1&0&0&-2&3&2&3\\-1,5&1&0&0&0,5&-3&-3,5\\0,5&-7&1&0&0&20&24} [/mm] $
nun steht links dein 3x3 S und rechts ein A'
nun durch Spaltenumformungen A' auf die gewünschte Endform bringen, dazu :
$ [mm] \pmat{-2&3&2&3\\0&0,5&-3&-3,5\\0&0&20&24}\pmat{1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1} [/mm] $ mit Spaltenumformungen auf die Endform bringen.
(ja, eine 4x4 Einheitsmatrix)
Dann steht rechts die Matrix $ [mm] T^{-1} [/mm] $
und wie gesagt um die Basen zubekommen die Spaltenvektoren der Inversen Inversen betrachten.
> Dann muesste ich doch jetzt diese Vektoren an [mm]M^A_B(\phi_A)[/mm]
> dranmultiplizieren koennen, um Vektoren bezueglich der
> Basis B zu erhalten.
Nee nee , das bedeutet, dass du einen Vektor bzgl der Basisdarstellung von A reinsteckst, das heißt wenn du die Basis reinstecken willst, musst du die Einheitsvektoren reinstecken - dann bekommst du ja die Einheitsvektoren von B raus, also genau die Basiselemente (in Basisdarstellung B)
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Mi 06.07.2005 | | Autor: | michael7 |
Hallo,
vielen Dank fuer Deinen ausfuehrlichen Artikel! Hab's verstanden. Jetzt wo Du das alles schreibst, kommt mir auch die relevante Passage unseres Skripts wieder in den Sinn. 
Viele Gruesse
Michael
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