Basen eines R-Moduls < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Mi 30.07.2014 | | Autor: | Topologe |
| Aufgabe | | Es sei R ein nicht trivialer kommutativer Ring und M ein endlich erzeugter freier R-Modul. Dann haben je zwei Basen von M über R die gleiche Anzahl von Elementen. |
Hi,
gibt es denn eigentlich auch eine Art Standardbeispiel für ein R-Modul M, der unterschiedlich grosse Basen besitzt?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:54 Mi 30.07.2014 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
Es ist nicht ganz klar, was du genau wissen willst.
Von Basen spricht man eigentlich nur bei freien Moduln. Ist R ein kommutativer Ring, und M ein freier Modul so haben zwei Basen von M immer dieselbe Kardinalität (egal ob M endlich erzeugt ist oder nicht).
Bei nicht-kommutativen Ringen gibt es Beispiele, für die [mm]R^{n}\cong R^{m}[/mm] mit [mm]n\neq m[/mm] gilt. Ein konkretes Beispiel hab ich nicht parat.
Falls du einen nicht-freien Modul über einem kommutativen Ring suchst der zwei unterschiedlich große Erzeugendensysteme hat, die sich nicht verkleinern lassen:
[mm]\mathbb{Z}_{6}[/mm] wird als [mm]\mathbb{Z}-Modul[/mm] von [mm]\{1\}[/mm] und von [mm]\{2, 3\}[/mm] erzeugt.
Viele Grüße,
Berieux
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Hallo,
> Hallo!
> Bei nicht-kommutativen Ringen gibt es Beispiele, für die
> [mm]R^{n}\cong R^{m}[/mm] mit [mm]n\neq m[/mm] gilt. Ein konkretes Beispiel
> hab ich nicht parat.
Hier gibt's eins :
https://en.wikipedia.org/wiki/Invariant_basis_number
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:08 Do 31.07.2014 | | Autor: | Topologe |
Super, danke!
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