Basen gesucht < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:21 Sa 20.05.2006 | | Autor: | maggi20 |
| Aufgabe | Wir haben eine lineare Abbildung [mm] f:R^4 [/mm] nach [mm] R^3, [/mm] (x,y,w,z) -> (-2x+3y+2z+3w,-3x+5y+w,-x+2y-2z-2w). Die Matrix=: 1000
0100
0000
Bestimmen Sie eine Basis in [mm] R^4 [/mm] und eine Basis in [mm] R^3, [/mm] so dass f bzgl. dieser Basen die Matrix Mf hat. |
Hallo liebe Leute!
Ich brauche dringend eure Hilfe. Ich komm bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter. Ich habe mir gedacht, dass ich die Lineare Abbildung in einer Matrix darstelle und sie anschliessend mit der mir vorgegebenen Matrix verknüpfe. Und aus dieser Matrix dann die Basisvektoren im [mm] R^4 [/mm] erhalte. Diese mit der mir angegebenen matrix multipliziere und somit das Bild in W erhalte. Und mithile dieser Bilder die basen im [mm] R^3 [/mm] bestimme. Ist das schon mal ein Ansatz oder liege ich da total falsch.
Bitte helft mir.
Liebe Grüsse
Maggi20
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Hallo!
> Wir haben eine lineare Abbildung [mm]f:R^4[/mm] nach [mm]R^3,[/mm] (x,y,w,z)
> -> (-2x+3y+2z+3w,-3x+5y+w,-x+2y-2z-2w).
> Die Matrix=: 1000
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> 0100
>
> 0000
> Bestimmen Sie eine Basis in [mm]R^4[/mm] und eine Basis in [mm]R^3,[/mm] so
> dass f bzgl. dieser Basen die Matrix Mf hat.
> Hallo liebe Leute!
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> Ich brauche dringend eure Hilfe. Ich komm bei dieser
> Aufgabe einfach nicht weiter. Ich habe mir gedacht, dass
> ich die Lineare Abbildung in einer Matrix darstelle und sie
> anschliessend mit der mir vorgegebenen Matrix verknüpfe.
> Und aus dieser Matrix dann die Basisvektoren im [mm]R^4[/mm]
> erhalte. Diese mit der mir angegebenen matrix multipliziere
> und somit das Bild in W erhalte. Und mithile dieser Bilder
> die basen im [mm]R^3[/mm] bestimme. Ist das schon mal ein Ansatz
> oder liege ich da total falsch.
Hast du es denn mal so versucht? Entweder verstehe ich da etwas falsch, oder das kann so gar nicht gehen. Denn wie willst du die Abbildung als Matrix darstellen, wenn du keine Basis hast? Wenn ich mich nicht irre, dann sind genau die Spaltenvektoren der Matrix die Bilder der Basisvektoren. Siehe dazu auch ![[]](/images/popup.gif) in der Wikipedia und in unserer Mathebank:  Darstellungsmatrix.
Es kann sein, dass ich mich jetzt vertue, aber ich glaube, du musst folgendes machen:
Es muss doch gelten: f(v)=M*v für alle v. Nennen wir v mal [mm] \vektor{v_1\\v_2\\v_3\\v_4}, [/mm] dann soll gelten: [mm] f(v)=\vektor{v_1\\v_2\\0} [/mm] (nach deiner gegebenen Matrix). Setzt du den Vektor [mm] \vec{v} [/mm] in deine gegebene Abbildung ein, erhältst du [mm] \vektor{-2v_1+3v_2+2v_3+3v_4\\-3v_1+5v_2+v_4\\-v_1+2v_2-2v_3-2v_4}. [/mm] Naja, und diese zwei müssen jetzt gleich sein. Aber irgendwie fehlt da glaube ich noch was, komme nur gerade nicht drauf, was. Sorry. Aber vielleicht hilft dir das ja schon mal.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 So 21.05.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
also wie man im allgemeinen eine Basis findet, damit die Darstellungsmatrix eine gewisse Form hat, ist etwas schwieriger, aber hier geht es doch besonders einfach:
Schau dir doch mal die Matrix an - die ersten beiden Basisvektoren des [mm] $\IR^4$ [/mm] sollen auf eine Basis des Bildes abgebildet werden und die letzten beiden sollen im Kern liegen.
also : Basis des Kerns finden und diese zu einer Basis des [mm] $\IR^4$ [/mm] erweitern (aber die Reihenfolge vertauschen, so dass die Vektoren aus dem Kern hinten stehen) - damit hast du schonmal alles für den Urbildraum.
Als Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] wählt man nun einfach die Bilder der beiden ersten Basisvektoren (sie sind dann schon eine Basis des Bildes) und erweitert diese noch um einen Vektor zu einer Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] .
Dann sieht die entspr. Darstellungsmatrix doch genauso aus, wie verlangt.
viele Grüße
DaMenge
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