Basen im Raum der Polynome < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Mi 28.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
| Aufgabe | a) Geben Sie bezüglich der Standardbasen 1,x,x²,...im Raum der Polynome [mm] P_n [/mm] vom Grad [mm] \le [/mm] n, bzw [mm] P_n_+_2 [/mm] vom Grad [mm] \le [/mm] n+2 die Matrixdarstellung der Abbildung [mm] P_n \to P_n_+_2, [/mm] p(x) [mm] \mapsto [/mm] (x²+2)p(x)
an.
b) Geben Sie für n = 1 Basen von v und w und von [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_3 [/mm] in Matrix- darstellung an, sodass die Matrixdarstellung der Abbildung aus a) bezüglich dieser Basen durch diese Matrix gegeben ist. |
Hi,
ich habe einige Fragen zur Aufgabe a):
1. Worin besteht der Unterschied zwischen"Basis" und "Standardbasis"?
2. Was ist der Raum der Polynome???
3. Bedeutet, dass jedem Wert des Polynomes [mm] P_n [/mm] mit der Abbildung
p(x) [mm] \mapsto [/mm] (x²+2)p(x) ein Wert in [mm] P_n_+_2 [/mm] zugewiesen wird?
Wer ist so nett und hilft mir ein Stück weiter?
Gruß_160
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:33 Mi 28.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
ich hab mal ein bisschen umsortiert:
> 2. Was ist der Raum der Polynome???
Betrachtet man alle möglichen Polynome bis zu einem gewissen Grad n über einem beliebigen Körper K, so bilden diese (mit den richtigen Verknüpfungen) einen (n+1)-dimensionalen Vektorraum über K. Die Definition der Addition und Skalarmultiplikation sind intuitiv klar (oder wie würdest Du zwei Polynome addieren), und die Vektorraumeigenschaften zu zeigen ist dann eigentlich nur noch eine Fleissaufgabe.
Mir hilft es immer ein bisschen, wenn ich mir die "Polynomvektoren" als ganz normale Spaltenvektoren vorstelle, die als Koordinaten die Koeffizieten des Polynoms haben.
Das Polynom [mm] p=3x^2+2x+1 [/mm] wäre dann zum Beispiel der Vektor [mm] \vektor{3\\2\\1}.
[/mm]
> 1. Worin besteht der Unterschied zwischen"Basis" und
> "Standardbasis"?
"Standardbasis" ist kein neuer mathematischer Begriff, so nennt man einfach eine Basis, die für einen bestimmten Vektorraum üblicherweise verwendet wird (meist weil sie besonders einfach ist), also für diesen Vektorraum Standard ist.
Die "Koordinatendarstellung" oben ist genau die Koordinatendarstellung zu der Basis, die in der Aufgabe angegeben ist.
Es gibt natürlich noch unendlich viele andere Basen, allerdings sind die meist nur in speziellem Zusammenhang von Interesse. Beispielsweise würden auch die ![[]](/images/popup.gif) Tschebyschow-Polynome eine Basis bilden, aber die ist für die meisten Fälle einfach zu kompliziert.
> 3. Bedeutet, dass jedem Wert des Polynomes [mm]P_n[/mm] mit der
> Abbildung
> p(x) [mm]\mapsto[/mm] (x²+2)p(x) ein Wert in [mm]P_n_+_2[/mm]
> zugewiesen wird?
Nein, hier geht es nicht um eine Abbildung von Werten von Polynomen, sondern um die Abbildung von Polynomen "an sich". Sprich: aus einem Polynom p(x) wird gemäß der Abbildungsvorschrift ein neues Polynom p'(x) gemacht. Wenn man in eines dieser Polynome auch einmal einen Wert für x einsetzen will kann man das ruhig tun, allerdings verlässt man dadurch den betrachteten Vektorraum.
Beachte: Polynome sind noch nicht gleich, nur weil sie für jede mögliche Einsetzung den gleichen Wert haben (über [mm] \IR [/mm] zwar schon, bei endlichen Körpern muss das aber nicht mehr so sein!).
>
> Wer ist so nett und hilft mir ein Stück weiter?
>
> Gruß_160
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Do 29.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo piet,
besten Dank für Deine Antwort. Ich hab folgende Rechnung angestellt und hätte gern gewußt ob ich so richtig liege:
[mm] P_n.= [/mm] {p|p(x) = [mm] a_nx^n+...+a_1x+a_0 [/mm] }
__________________________
mit
p(x) = [mm] a_nx^n+...+a_1x+a_0 [/mm]
und
[mm] q(x)=(x^2+2)p(x)=a_nx^{n+2} +a_n_-_1x^{n+1}+a_n_-_2x^n+...+a_1x^3 +a_0x^2+2a_nx^n+...+2a_1+2a_0)
[/mm]
_____________________________
Die lineare Abbildung vom Raum der Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] n in den Raum der Ploynome mit dem Grad [mm] \le [/mm] n+2) bezeichne ich mit [mm] \phi:
[/mm]
[mm] \phi [/mm] : [mm] P_n \to P_n_+_2
[/mm]
mit
[mm] (\phi)* [/mm] p(x):=q(x)
_________________________
Um diese Abbildung als Matrix darstellen zu können, stelle ich [mm] P_n [/mm] (UND/ODER [mm] P_n_+_2 [/mm] ???) als einen Spaltenvektor dar. Dazu nehme ich eine beliebige , in der Aufgabe die gegebenen Basis (Standard- basis ) { [mm] 1,x,x^2,... [/mm] }.
Damit kann ich das Polynom p(x) (UND/ODER q(x) ???) durch eine Linearkombination mit der Basis darstellen:
p(x) = [mm] a_nx^n+...+a_1x+a_0
[/mm]
mit
[mm] \mapsto \vektor{a_0 \\\vdots\\ a_n}
[/mm]
________________________________
UND/ODER:???
[mm] q(x)=(x^2+2)p(x)=a_nx^{n+2}+a_n_-1x^{n+1}+a_n_-2x^n+...+a_1x^3 +a_0x^2+2a_nx^n+...+2a_1+2a_0)
[/mm]
mit
[mm] \mapsto \vektor{2a_0\\2a_1\\a_0+2a_2\\\vdots\\a_n_-_2+2a_n\\a_n_-_1\\ a_n}
[/mm]
__________________________________
Wie Du siehst bin ich mir an den Stellen wo UND/ODER steht gar nicht sicher. Ist meine Vorgehensweis wenigstens annäherd richtig??? Ich bin auf Deine Antwort sehr gespannt.
Gruß didi_160
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Do 29.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Ich habe muß doch eine MATRIX als Lösung angeben!!!
In meiner bisherigen Lösung erhalte ich doch bestenfalls Vektoren.
Was hälst Du denn von folgendem Weg:
p(x) = [mm]a_nx^n+...+a_1x+a_0[/mm]
"In der gesuchten Matrix stehen die Bilder der Basisvektoren des Ausgangsraumes, also des Raumes derPolynome mit Grad [mm] \le [/mm] n."
__________________________________________
[mm] \varphi [/mm] ((1,0,0...,0)) = [mm] a_0 [/mm] = [mm] 1*a_0+0*a_1+...+0*a_n [/mm] = (1,0,0,...,0)
Der letzte Vektor ist [mm] a_0 [/mm] geschrieben als Komponentenvektor zur Basis
{ [mm] 1,x,x^2,... [/mm] }
Also lautet die 1.Spalte der gesuchten Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & \ldots \\ 0 & \\ \vdots & \\0 }
[/mm]
___________________________________________
[mm] \varphi [/mm] ((0,1,0...,0)) = [mm] a_1*x [/mm] = [mm] 0*a_0+1*a_1+...+0*a_n [/mm] = (0,1,0,...,0)
Der letzte Vektor ist [mm] a_1*x [/mm] geschrieben als Komponentenvektor zur Basis
{ [mm] 1,x,x^2,... [/mm] }
__________________________________________
[mm] \varphi [/mm] ((0,0,1...,0)) = [mm] a_2 *x^2= 0*a_0+0*a_1+1*a_2+...+0*a_n [/mm] = (1,0,0,...,0)
Der letzte Vektor ist [mm] a_2*x^2 [/mm] geschrieben als Komponentenvektor zur Basis
{ [mm] 1,x,x^2,... [/mm] }
__________________
Damit hat die gesuchte Matrix folgendes Aussehen:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \ddots & 0 &\ldots & 0 \\ 0 & & 1 & \ldots & 0\\ \vdots & \ldots & 0 & \ldots & \vdots\\
0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 }
[/mm]
___________________________
Wer ist so nett und überprüft das ganze bis hierher ???
Besten Dank im Voraus.
Gruß didi_160
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Do 29.06.2006 | | Autor: | piet.t |
...und weiter gehts....
>
> Ich habe muß doch eine MATRIX als Lösung angeben!!!
> In meiner bisherigen Lösung erhalte ich doch bestenfalls
> Vektoren.
Ja, wir sind also noch nicht fertig. Bis jetzt haben wir die Abbildung in Koordinatenschreibweise überführt:
[mm]\varphi: \vektor{a_0 \\\vdots\\ a_n} \mapsto \vektor{2a_0\\2a_1\\a_0+2a_2\\\vdots\\a_n_-_2+2a_n\\a_n_-_1\\ a_n} [/mm]
> Was hälst Du denn von folgendem Weg:
> p(x) = [mm]a_nx^n+...+a_1x+a_0[/mm]
> "In der gesuchten Matrix stehen die Bilder der
> Basisvektoren des Ausgangsraumes, also des Raumes
> derPolynome mit Grad [mm]\le[/mm] n."
Genau so würde ich jetzt auch die Matrix bestimmen!
> __________________________________________
> [mm]\varphi[/mm] ((1,0,0...,0)) = [mm]a_0[/mm] = [mm]1*a_0+0*a_1+...+0*a_n[/mm] =
> (1,0,0,...,0)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du hast hier ja nicht die Abbildung [mm] \varphi [/mm] angewendet, sondern lediglich von der Koordinaten- in die Polynomschreibweise und wieder zurück umgewandelt. Die Abbildungsvorschrift von [mm] \varphi [/mm] in Koordinatenschreibweise hatten wir ja schon bestimt, also kann man sich den Umweg über die Polynome sparen.
> Der letzte Vektor ist [mm]a_0[/mm] geschrieben als
> Komponentenvektor zur Basis
> [mm]\{1,x,x^2,...\}[/mm]
Und das ist ja unser erster Basisvektor von [mm] P_n, [/mm] und nicht das Bild davon.
>
> Also lautet die 1.Spalte der gesuchten Matrix:
> [mm]\pmat{ 1 & \ldots \\ 0 & \\ \vdots & \\0 }[/mm]
>
Nachdem Du oben das [mm] \varphi [/mm] nicht wirklich angewandt hast ist das natürlich nur wieder der Basisvektor. Also musst Du erst noch das richtige Bild bestimmen.
Der Fehler zieht sich jetzt natürlich bis zum Ende durch, aber grundsätzlich ist die Vorgehensweise schon richtig.
Gruß
piet
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Do 29.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> Hi piet, besten Dank für Deine Hilfe.
> Ab diesem Schritt sehe ich kein Land mehr. Kannst Du bitte
> mal den nächsten Schritt formelmäßig aufschreiben, damit
> ich sehe wie ich das machen muß? Ich muß doch eine MATRIX
> als Lösung angeben. Und die besteht doch aus Spalten wie
> diese hier:[mm]\pmat{ 1 & \ldots \\ 0 & \\ \vdots & \\0 }[/mm]
Nein, die Matrix enthält Spalten die die Bilder solcher Vektoren sind.
>
> oder enthält die gesuchte Matrix [mm]a_1[/mm] oder [mm]a_3[/mm] oder
> vielleicht in der Form [mm]a_n+2a_n_-_1[/mm] ???
Da verstehe ich jetzt nicht ganz, was Du meinst - könnte stimmen oder auch nicht, ich zeige einfach mal wie man auf die erste Spalte kommt, damm kannst Du das ja selbst entscheiden.
Dann los: der erste Basisvektor ist doch [mm]\vektor{ 1 \\ 0 \\ \vdots \\0 }[/mm].
Dessen Bild ist nach der Abbildungsvorschrift von [mm] \varphi[/mm] [mm]\vektor{ 2 \\ 0 \\ 1\\0\\ \vdots \\0 }[/mm]
(siehe den Anfang meines vorigen posts mit [mm] a_0 [/mm] = 1 und [mm] a_2,...,a_n [/mm] = 0)
Dieser Vektor ist also die erste Spalte der gesuchten Matrix. Wie sieht die zweite aus? Wenn du die auch noch hast sollte der Rest ja kein großes Problem mehr sein.
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:49 Fr 30.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hi piet,
Besten Dank für Deine Hilfe. Jetzt habe ich das Prinzip vertanden.
Schaue nach einem Koeffizenten im Urbild z.B [mm] a_n. [/mm] Der letzte Basisvektor lautet: [mm] \vektor{0 \\ 0\\ \vdots\\ 1 }.. [/mm]
Dessen Bild ist nach der Abbildungsvorschrift von [mm] \varphi \vektor{0 \\ 0\\ \vdots\\ 2\\0\\1 }
[/mm]
Ist das so richtig?
________________________________
In aufg. b) soll n=1 gemacht werden.
für p(x) heißt das:
p(x) = [mm] a_1x+a_0
[/mm]
[mm] \mapsto \vektor{a_0 \\ a_1}
[/mm]
_________________________________-
für q(x) heißt das:
q(x) = p(x) = [mm] a_1x^3+a_0x^2+2a_1x_1+2a_1+2a_0
[/mm]
[mm] \mapsto \vektor{2a_0 \\ 2a_1\\2a_1\\a_0\\a_1}
[/mm]
_________________-
Bist Du mal so nett und überprüfst das Ergebnis??
Bis später.
Gruß Didi_160
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Ich habe noch eine Unklarheit zu den geforderten Basen im 2. Teil der Aufgabe.
Ich soll Basen für n = 1 von v und w von [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_3 [/mm] angeben, sodass die Matrixdarstellung der Abbildung [mm] P_n \to P_n_+_2, [/mm] mit p(x) [mm] \mapsto (x^2+2)p(x) [/mm] durch eine solche Martrix
[mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \ddots & 0 &\ldots & 0 \\ 0 & & 1 & \ldots & 0\\ \vdots & \ldots & 0 & \ldots & \vdots\\
0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 }[/mm]
gegeben ist.
_______________________
Für die Basis v ist mir das klar:
Der erste Basisverktor v sieht so aus: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ \vdots \\0}. [/mm] Der 2. Basisvektor v hat folgendes Aussehen: [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ \vdots \\0}
[/mm]
Usw.
_________________________________
Weiter vorn haben wir zum 1. Basisvektor [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ \vdots \\0} [/mm] das Bild von v nach der Abbildungsvorschrift [mm] \varphi [/mm]
notiert. Es lautet: [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1\\ 0 \\\vdots \\0}. [/mm] Ich muß aber laut Aufgabe die Basis w in der geforderten Matix-form angeben. Aber was ist überhaupt die Basis w ???
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Wer kann mir diese Frage beantworten??? Besten Dank im Voraus.
Gruß didi_160
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:51 Sa 01.07.2006 | | Autor: | piet.t |
Was sind denn eigentlich v und w? In der Aufgabe habe ich für die Bezeichner keine Definition gefunden.....![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Die fehlende Matrix hast Du ja inzwischen ergänzt.
Gruß
piet
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Sa 01.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hi piet,
weiter oben steht noch im Vorspann zu der Aufgabe:
V ist ein Vektorraum der Dimension n, W ein Vektorraum der Dimension m. Es sei [mm] \varphi [/mm] : V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung. Zeigen Sie : Dann gibt es eine Basis v = [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] von V und w = [mm] (w_1,...,w_m) [/mm] von W, sodass die Matrixdarsetellung von [mm] \varphi [/mm] dieser Basen durch
[mm] \varphi_v_,_w [/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \ddots & 0 &\ldots & 0 \\ 0 & & 1 & \ldots & 0\\ \vdots & \ldots & 0 & \ldots & \vdots\\
& \ldots & 0 & \ldots & 0 }[/mm] [mm] \in [/mm] M ( m x n,K )
gegeben ist.
__________________________________________________________
Gut wir haben bisher in der Aufgabe a) [mm] (P_n \to P_n_+_2 [/mm] ) den Basen keine Namen gegeben. Bezugnehmend auf den Vorspann heißt die Basis des Urbildes v = [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] mit z.B dem letzten Spaltenvektor [mm] v_n [/mm] = [mm] \vektor{0 \\0\\\vdots\\1}
[/mm]
Dessen Bild ist nach der Abbildungsvorschrift w = [mm] (w_1,...,w_m) [/mm] mit z.B. dem letzten Spaltenvektor [mm] w_m [/mm] = [mm] \vektor{0 \\0\\ \vdots\\2\\0\\1}.
[/mm]
Richtig bis hierher?
_________________________________________________________
In Aufgabe c) [mm] (P_1\to P_3 [/mm] ) lautet v = [mm] (v_1,v_2) [/mm]
mit dem 1.Spaltenvektor [mm] v_1= \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
und dem 2.Spaltenvektor [mm] v_2= \vektor{0 \\ 1}.
[/mm]
In Matrix-Darstellung v = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }.
[/mm]
Richtig bis hierher???
____________________________________________
Im Falle n=1 lautet w = [mm] (w_1, w_2, w_3, w_4)
[/mm]
mit dem 1.Spaltenvektor [mm] w_1= \vektor{2 \\ 0 \\ 0 \\ 0},
[/mm]
und dem 2.Spaltenvektor [mm] w_2= \vektor{0 \\ 2 \\ 0 \\ 0},
[/mm]
und dem 3.Spaltenvektor [mm] w_3= \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0},
[/mm]
und dem 4.Spaltenvektor [mm] w_4= \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}.
[/mm]
In Matrixdarstellung w = [mm] \pmat{2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 &0\\0 & 0 &0& 1}.
[/mm]
Richtig bis hierher???
__________________________________________________
Bei mir bleibt die Frage offen, was ich mit der Matrix
[mm] \varphi_v_,_w [/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \ddots & 0 &\ldots & 0 \\ 0 & & 1 & \ldots & 0\\ \vdots & \ldots & 0 & \ldots & \vdots\\
& \ldots & 0 & \ldots & 0 }[/mm] [mm] \in [/mm] M ( m x n,K )
machen soll???
___________________________________________________
Wer ist so nett und erklärt mir das noch???
Gruß didi_160
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Hi,
ich hätte meine Mitteilung von gestern besser als frage formulieren sollen:
> weiter oben steht noch im Vorspann zu der Aufgabe:
> V ist ein Vektorraum der Dimension n, W ein Vektorraum der
> Dimension m. Es sei [mm]\varphi[/mm] : V [mm]\to[/mm] W eine lineare
> Abbildung. Zeigen Sie : Dann gibt es eine Basis v =
> [mm](v_1,...,v_n)[/mm] von V und w = [mm](w_1,...,w_m)[/mm] von W, sodass die
> Matrixdarsetellung von [mm]\varphi[/mm] dieser Basen durch
> [mm]\varphi_v_,_w[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \ddots & 0 &\ldots & 0 \\ 0 & & 1 & \ldots & 0\\ \vdots & \ldots & 0 & \ldots & \vdots\\
& \ldots & 0 & \ldots & 0 }[/mm]
> [mm]\in[/mm] M ( m x n,K )
> gegeben ist.
>
> __________________________________________________________
> Gut wir haben bisher in der Aufgabe a) [mm](P_n \to P_n_+_2[/mm] )
> den Basen keine Namen gegeben. Bezugnehmend auf den
> Vorspann heißt die Basis des Urbildes v = [mm](v_1,...,v_n)[/mm]
> mit z.B dem letzten Spaltenvektor [mm]v_n[/mm] = [mm]\vektor{0 \\0\\\vdots\\1}[/mm]
>
> Dessen Bild ist nach der Abbildungsvorschrift w =
> [mm](w_1,...,w_m)[/mm] mit z.B. dem letzten Spaltenvektor [mm]w_m[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\0\\ \vdots\\2\\0\\1}.[/mm]
>
> Richtig bis hierher?
> _________________________________________________________
> In Aufgabe c) [mm](P_1\to P_3[/mm] ) lautet v = [mm](v_1,v_2)[/mm]
> mit dem 1.Spaltenvektor [mm]v_1= \vektor{1 \\ 0}[/mm]
> und dem
> 2.Spaltenvektor [mm]v_2= \vektor{0 \\ 1}.[/mm]
> In
> Matrix-Darstellung v = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }.[/mm]
>
> Richtig bis hierher???
> ____________________________________________
> Im Falle n=1 lautet w = [mm](w_1, w_2, w_3, w_4)[/mm]
> mit dem
> 1.Spaltenvektor [mm]w_1= \vektor{2 \\ 0 \\ 0 \\ 0},[/mm]
> und dem
> 2.Spaltenvektor [mm]w_2= \vektor{0 \\ 2 \\ 0 \\ 0},[/mm]
> und dem
> 3.Spaltenvektor [mm]w_3= \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0},[/mm]
> und dem
> 4.Spaltenvektor [mm]w_4= \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}.[/mm]
> In
> Matrixdarstellung w = [mm]\pmat{2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 &0\\0 & 0 &0& 1}.[/mm]
>
> Richtig bis hierher???
> __________________________________________________
>
> Bei mir bleibt die Frage offen, was ich mit der Matrix
>
> [mm]\varphi_v_,_w[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \ddots & 0 &\ldots & 0 \\ 0 & & 1 & \ldots & 0\\ \vdots & \ldots & 0 & \ldots & \vdots\\
& \ldots & 0 & \ldots & 0 }[/mm]
> [mm]\in[/mm] M ( m x n,K )
> machen soll???
> ___________________________________________________
> Wer ist so nett und erklärt mir das noch???
>
> Gruß didi_160
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:20 Di 04.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Sa 01.07.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> Hi piet,
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> Besten Dank für Deine Hilfe. Jetzt habe ich das Prinzip
> vertanden.
> Schaue nach einem Koeffizenten im Urbild z.B [mm]a_n.[/mm] Der
> letzte Basisvektor lautet: [mm]\vektor{0 \\ 0\\ \vdots\\ 1 }..[/mm]
> Dessen Bild ist nach der Abbildungsvorschrift von [mm]\varphi \vektor{0 \\ 0\\ \vdots\\ 2\\0\\1 }[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Ich denke, Du meinst das richtige, aber die ausdrucksweise ist etwas unklar. Die Koeffizienten haben damit relativ wenig zu tun. Ich muss nur die gegebenen Basisvektoren im Ausgangsraum durchgehen, jeweils die Abbildung [mm] \varphi [/mm] darauf anwenden und das Bild in die Spalten der Matrix schreiben.
> ________________________________
> In aufg. b) soll n=1 gemacht werden.
> für p(x) heißt das:
> p(x) = [mm]a_1x+a_0[/mm]
> [mm]\mapsto \vektor{a_0 \\ a_1}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> _________________________________-
> für q(x) heißt das:
> q(x) = p(x) = [mm]a_1x^3+a_0x^2+2a_1x_1+2a_1+2a_0[/mm]
> [mm]\mapsto \vektor{2a_0 \\ 2a_1\\2a_1\\a_0\\a_1}[/mm]
Da sind ein paar Fehler drin:
1.) q(x) ist sicher nicht = p(x).
2.) hast Du dich wohl verrechenet: [mm]q(x) = (x^2 + 2) (a_1x + a_0) = a_1x^3 + a_0 x^2 + 2a_1x+2a_0[/mm]
3.) Dein Vektor hat zu viele Komponenten. Die Dimension des Bildraums ist 4 - für jede x-Potenz ist (bezüglich der Standardbasis) gerade der Koeffizient einzutragen.
>
> _________________-
>
> Bist Du mal so nett und überprüfst das Ergebnis??
>
> Bis später.
> Gruß Didi_160
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Do 29.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
zur Matrixdarstellung gibts noch mehr in der Antwort auf Deinen anderen Post. Jetzt erst mal zu dem hier:
>...
>
> [mm]P_n =\{p|p(x) = a_nx^n+...+a_1x+a_0 \}[/mm]
> __________________________
> mit
> p(x) = [mm]a_nx^n+...+a_1x+a_0[/mm]
> und
> [mm]q(x)=(x^2+2)p(x)=a_nx^{n+2} +a_n_-_1x^{n+1}+a_n_-_2x^n+...+a_1x^3 +a_0x^2+2a_nx^n+...+2a_1+2a_0)[/mm]
>
> _____________________________
> Die lineare Abbildung vom Raum der Polynome vom Grad [mm]\le[/mm]
> n in den Raum der Ploynome mit dem Grad [mm]\le[/mm] n+2) bezeichne
> ich mit [mm]\phi:[/mm]
> [mm]\phi[/mm] : [mm]P_n \to P_n_+_2[/mm]
> mit
> [mm](\phi)*[/mm] p(x):=q(x)
So weit alles richtig. Beachte aber, dass q(x) nicht in [mm] P_n [/mm] sondern in [mm] P_{n+2} [/mm] liegt!!
> _________________________
> Um diese Abbildung als Matrix darstellen zu können, stelle
> ich [mm]P_n[/mm] (UND/ODER [mm]P_n_+_2[/mm] ???) als einen Spaltenvektor
> dar.
Mit mehr Routine kann man diesen Schritt vielleicht überspringen, aber zur Zeit ist das sicher hilfreich, um die Polynome auch wirklich als Vektoren zu sehen.
> Dazu nehme ich eine beliebige , in der Aufgabe die
> gegebenen Basis (Standard- basis )
> [mm]\{1,x,x^2,...\}[/mm] .
> Damit kann ich das Polynom p(x) (UND/ODER q(x) ???) durch
> eine Linearkombination mit der Basis darstellen:
Es macht durchaus Sinn, die Koordinatendarstellung für beide Polynome zu bestimmen (also eher UND). Wie gesagt, wenn die Basis so einfach ist wie in diesem Fall kann man das für p(x) wenn nötig auch im Kopf machen, aber zumindest für q(x) hat mir persönlich die Koordinatendarstellung sehr geholfen.
> p(x) = [mm]a_nx^n+...+a_1x+a_0[/mm]
> mit
> [mm]\mapsto \vektor{a_0 \\\vdots\\ a_n}[/mm]
>
Passt!
> ________________________________
> UND/ODER:???
>
> [mm]q(x)=(x^2+2)p(x)=a_nx^{n+2}+a_n_-1x^{n+1}+a_n_-2x^n+...+a_1x^3 +a_0x^2+2a_nx^n+...+2a_1+2a_0)[/mm]
>
> mit
> [mm]\mapsto \vektor{2a_0\\2a_1\\a_0+2a_2\\\vdots\\a_n_-_2+2a_n\\a_n_-_1\\ a_n}[/mm]
>
Sieht mir auch richtig aus. Damit hätten wir das Handwerkszeug zum erstellen der Matrix beisammen. Also weiter im nächsten Post.
> __________________________________
>
> Wie Du siehst bin ich mir an den Stellen wo UND/ODER steht
> gar nicht sicher. Ist meine Vorgehensweis wenigstens
> annäherd richtig??? Ich bin auf Deine Antwort sehr
> gespannt.
>
> Gruß didi_160
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