Basen,lineare Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Fr 15.04.2005 | | Autor: | sole |
"Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt."
Hallo an alle  mein erstes Posting hier, waere nett wenn mir jemand helfen koennte!
Also: gegeben ist eine Matrix A die eine lineare Abbildung von V nach W darstellt bezueglich den Standardbasen von V und W. Gefragt sind zwei weitere Basen von V und W so dass die vorherige lineare Abbildung sich durch eine zweite gegeben Matrix B darstellen laesst.
Hat jemand viellaicht eine Idee? Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Fr 15.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Die Frage ist etwas seltsam, denn ich kann jedes beliebige Paar von Basen im Urbild- und Bildraum nehmen und die lineare Abbildung als Matrix bezüglich dieser beiden Basen schreiben.
Das Verfahren geht allgemein so:
Ist [mm] ${\cal V}:=(v_1,v_2,\ldots,v_n)$ [/mm] eine Basis von $V$ und [mm] ${\cal W}:=(w_1,w_2,\ldots,w_m)$ [/mm] eine Basis von $W$, dann lassen sich die Bilder der Basisvektoren, also die [mm] $f(v_i)$ [/mm] (für [mm] $i=1,2,\ldots,n$), [/mm] die ja in $W$ liegen, als Linearkombinationen der [mm] $w_j$ $(j=1,\ldots,m)$ [/mm] schreiben. Es gelte etwa:
[mm] $f(v_i) [/mm] = [mm] b_{1i}w_1 [/mm] + [mm] b_{2i} w_2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] b_{ni} w_n$.
[/mm]
Dann sieht die $i$-te Spalte der Matrix [mm] $M_{\cal V}^{\cal W}(f)$, [/mm] also der darstellenden Matrix von $f$ bezüglich der Bases [mm] ${\cal V}$ [/mm] und [mm] ${\cal W}$, [/mm] wie folgt aus:
[mm] $\begin{pmatrix} b_{1i} \\ b_{2i} \\ \vdots \\ b_{ni} \end{pmatrix}$.
[/mm]
Hast du das verstanden?
So, und wie genau lautete jetzt genau die Aufgabe? 
Waren $A$ und $B$ vorgegeben? Mit Zahlen? Oder wie? ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:37 Sa 16.04.2005 | | Autor: | sole |
Danke fuer die Antwort! Also:
A = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 }
[/mm]
Finden sie Basen B von [mm] F^{3}_2, [/mm] B' von [mm] F^{4}_2, [/mm] so dass die lineare Abbildung [mm] L_{A} [/mm] : [mm] F^{3}_2 [/mm] --> [mm] F^{4}_2 [/mm] bezueglich B, B' die Matrix
B = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
hat.
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Guten Morgen!
Die Matrix $B$, die Du angegeben hast, hat eine spezielle Form. Da sind die Basen recht leicht zu bestimmen - nämlich so:
Als erstes bestimmst Du einen Vektor ungleich 0 im Kern von $A$, also Du löst das System $Ax = 0$ und suchst ein $x [mm] \not= [/mm] 0$, welches die Gleichung löst. Warum muß es einen Vektor im Kern geben? Naja, sonst macht die Matrix $B$ so keinen Sinn - die Bilder der Basisvektoren sind die Spalten der Matrix und da $B$ eine Nullspalte hat, muß es einen nicht-trivialen Vektor im Kern geben.
Den nimmst Dir her und ergänzt dann diesen Vektor zu einer Basis von [mm] $\IF_2^3$, [/mm] also suchst Dir noch zwei linear unabhängige Vektoren.
Das ergibt die Basis von $V$. Für die Basis von $W$ bestimmst Du jetzt die Bilder der beiden ergänzten Basisvektoren (das Bild des Kernvektors ist 0) und ergänzt diese zu einer Basis von $V$. Dann bringst Du alles in die richtige Reihenfolge und schon kommt die korrekte Matrix heraus. :)
Alles klar? Im Grunde mußt Du nur die Theorie anwenden, die in der Antwort davor stand...
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Sa 16.04.2005 | | Autor: | sole |
danke, sorry aber eins ist mir leider noch nicht so klar...bist du sicher das es einen nichttrivialen Vektor x im Kern von A gibt?
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Gruß!
Ja, den gibt es. Denn die Summe jeder Zeile ist 1 + 1 = 0 in [mm] $\IF_2$ [/mm] und damit folgt:
$A [mm] \cdot \pmat{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1+ 1 \\ 1+1 \\ 1+1 \\ 1+1 } [/mm] = [mm] \pmat{0 \\ 0 \\0 \\ 0}$
[/mm]
Dann wäre eine geeignete Basis von $V$:
[mm] $\left\{ \pmat{1 \\ 0 \\ 0}, \pmat{0 \\ 1 \\ 0}, \pmat{1 \\ 1 \\ 1} \right\}$
[/mm]
Die ersten beiden sind einfach linear unabghängig vom letzten gewählt.
Die Basis von $W$ könnte dann so aussehen:
[mm] $\left\{ \pmat{1\\0\\1\\1}, \pmat{0\\1\\0\\1}, \pmat{0\\0\\1\\0}, \pmat{0\\0\\0\\1} \right\}$
[/mm]
Eine Rolle spielen nur die ersten beiden Vektoren - das sind die Bilder der ersten beiden Vektoren der Basis von $V$. Die letzten beiden sind nur eine beliebige Ergänzung, das ist der Teil von $W$, der ohnehin nicht getroffen wird.
Alles klar?
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:24 Sa 16.04.2005 | | Autor: | sole |
arg...hatte vergessen das wir in [mm] F_{2} [/mm] sind *Kopf gegen die Wand hau* alles klar, nochmal vielen dank
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