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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 So 13.11.2011 | | Autor: | Sogge93 |
| Aufgabe | Die Lösungen der folgenden beiden Gleichungssysteme bilden zwei Unterräume U und V des [mm] R^{4}:
[/mm]
U:
[mm] 3x_{1}-x_{2}-x_{3}-x_{4}=0
[/mm]
[mm] -9x_{1}+7x_{2}-5x{3}+7x_{4}=0
[/mm]
V:
[mm] x_{1}-3x_{2}+x_{3}+x_{4}=0
[/mm]
[mm] -7x_{1}-7x_{2}+5x_{3}+9x_{4}=0
[/mm]
Bestimmen Sie je eine Basis von U, V, U [mm] \cap [/mm] V und U+V und überprüfen Sie den Dimensionssatz. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Nun habe ich bereits die Basis von U und auch von V ermittelt, nämlich
U= [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
V= [mm] \vektor{2/7 \\ 3/7 \\ 1 \\ 0}, \vektor{5/7 \\ 4/7 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Doch wie komme ich nun auf die anderen beiden Basen?
Die vier Vektoren sind linear unabhängig, heißt das, dass U [mm] \cap [/mm] V leer ist, bzw. nur den Nullvektor enthält?
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Hallo Sogge93,
> Die Lösungen der folgenden beiden Gleichungssysteme bilden
> zwei Unterräume U und V des [mm]R^{4}:[/mm]
>
> U:
> [mm]3x_{1}-x_{2}-x_{3}-x_{4}=0[/mm]
> [mm]-9x_{1}+7x_{2}-5x{3}+7x_{4}=0[/mm]
>
> V:
> [mm]x_{1}-3x_{2}+x_{3}+x_{4}=0[/mm]
> [mm]-7x_{1}-7x_{2}+5x_{3}+9x_{4}=0[/mm]
>
> Bestimmen Sie je eine Basis von U, V, U [mm]\cap[/mm] V und U+V und
> überprüfen Sie den Dimensionssatz.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Nun habe ich bereits die Basis von U und auch von V
> ermittelt, nämlich
>
> U= [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 1 \\ 0}[/mm] , [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
Hier muss es doch heißen:
U= [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 1 \\ 0}[/mm] , [mm]\vektor{0 \\ \blue{-}1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> V= [mm]\vektor{2/7 \\ 3/7 \\ 1 \\ 0}, \vektor{5/7 \\ 4/7 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Doch wie komme ich nun auf die anderen beiden Basen?
>
Für [mm]U \cap V[/mm] löse die Gleichungen, die unter U und V stehen.
Für [mm]U + V[/mm] prüfe, welche Vektoren aus V
sich nicht als Linearkombination der Vektoren aus U
darstellen lassen.
> Die vier Vektoren sind linear unabhängig, heißt das, dass
> U [mm]\cap[/mm] V leer ist, bzw. nur den Nullvektor enthält?
Nein, [mm]U \cap V[/mm] ist nicht leer.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 So 13.11.2011 | | Autor: | Sogge93 |
> Für [mm]U \cap V[/mm] löse die Gleichungen, die unter U und V
> stehen.
>
d.h. alle 4 Gleichungen in ein LGS packen und ausrechnen?
> Für [mm]U + V[/mm] prüfe, welche Vektoren aus V
> sich nicht als Linearkombination der Vektoren aus U
> darstellen lassen.
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Hallo Sogge93,
> > Für [mm]U \cap V[/mm] löse die Gleichungen, die unter U und V
> > stehen.
> >
>
> d.h. alle 4 Gleichungen in ein LGS packen und ausrechnen?
>
Ja.
>
> > Für [mm]U + V[/mm] prüfe, welche Vektoren aus V
> > sich nicht als Linearkombination der Vektoren aus U
> > darstellen lassen.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 So 13.11.2011 | | Autor: | Sogge93 |
Habe jetzt für U [mm] \cap [/mm] V
[mm] x_{4} \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Kann das stimmen?
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Hallo Sogge93,
> Habe jetzt für U [mm]\cap[/mm] V
>
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> [mm]x_{4} \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> Kann das stimmen?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 So 13.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo,
ja stimmt
gruss leduart
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