Basen von Untervektorräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Di 18.05.2010 | | Autor: | stk66 |
| Aufgabe | Seien U = [mm] <\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4} [/mm] , [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 4 \\ 5}> [/mm] und W = < [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ -1 \\ 2} [/mm] , [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 2 \\ -1}> [/mm] Untervektorräume von [mm] \IR^{4}.
[/mm]
Bestimme Basen der Untervektorräume U [mm] \cap [/mm] W und U + W. |
Bei dieser Aufgabe hapert es bei mir, bei der Ermittlung des Schnitts bzw. der Summe bzw. der genauen Untervektorräumen U und W.
Ich weiss, dass [mm] <\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4} [/mm] , [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 4 \\ 5}> [/mm] = { v [mm] \in \IR^{4} [/mm] | v ist Linearkombination von [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 4 \\ 5} [/mm] }
Aber wie komme ich nun weiter? Wie ermittle ich den Schnitt von U und W?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Di 18.05.2010 | | Autor: | Blech |
> Seien U = [mm]<\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}[/mm] , [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 4 \\ 5}>[/mm]
> und W = < [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ -1 \\ 2}[/mm] , [mm]\vektor{-2 \\ 1 \\ 2 \\ -1}>[/mm]
> Untervektorräume von [mm]\IR^{4}.[/mm]
> Bestimme Basen der Untervektorräume U [mm]\cap[/mm] W und U + W.
Was ist denn der Schnitt?
Die Menge aller Vektoren, die in U *und* W liegen.
Und was ist die? Die Menge aller Vektoren, so daß es a,b,c,d gibt mit
[mm] $\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4} [/mm] a + [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 4 \\ 5}b [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ -1 \\ 2}c+\vektor{-2 \\ 1 \\ 2 \\ -1}d$
[/mm]
Das ist ein LGS. Und für die Lösungsmenge suchst Du Dir dann eine Basis (die fällt hier von alleine ab =)
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Di 18.05.2010 | | Autor: | stk66 |
Habe das LGS gelöst. [mm] \IL [/mm] = { [mm] \vektor{-d\\d\\d\\d} [/mm] | d [mm] \in \IR [/mm] }
Was heisst da jetzt für die Schnittmenge, habe die irgendwie nen Brett vorm Kopf.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Di 18.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
was heißt denn [mm] $x\in [/mm] U$?
Wenn ich Dir ein x vorgebe und Du sollst mir sagen, ob es in U liegt, was würdest Du tun?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Di 18.05.2010 | | Autor: | stk66 |
Ich würde prüfen, ob x als Linearkombination er beiden Vektoren darstellbar ist. Also wieder LGS.
Dieser Tip hilft mir aber gerade gar nicht weiter, sehe den Zusammenhang mit dem Rest irgendwie nicht.
> Hi,
>
> was heißt denn [mm]x\in U[/mm]?
>
> Wenn ich Dir ein x vorgebe und Du sollst mir sagen, ob es
> in U liegt, was würdest Du tun?
>
> ciao
> Stefan
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Hallo,
Du hast das GS
$ [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4} [/mm] a + [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 4 \\ 5}b [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ -1 \\ 2}c+\vektor{-2 \\ 1 \\ 2 \\ -1}d [/mm] $ gelöst und festgestellt, daß sämtliche Lösungen [mm] \vektor{a\\b\\c\\d} [/mm] des Systems die Gestalt
[mm] \vektor{a\\b\\c\\d}= \vektor{-t\\t\\t\\t} [/mm] mit [mm] t\in \IR [/mm] haben.
Wenn Du also entsprechend für a,b bzw. c,d einsetzt, bekommst Du Vektoren des Schnittes.
Damit haben die Elemente x des Schnittes die Gestalt:
[mm] x=-t*\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4} +t*\vektor{2 \\ 3 \\ 4 \\ 5} \qquad\qquad [/mm] (a=-t, b=t)
[mm] =t*\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1},
[/mm]
dh. der Schnitt wird aufgespannt von [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}.
[/mm]
(Zu Deiner Erbauung/Sicherheit kannst Du noch prüfen, ob Du beim Einsetzen von c und d ein passendes Ergebnis erhältst - nötig ist dieser Test nicht.)
EDIT:
wieschoos Hinweis bzgl des Zassenhaus-Algorithmus ist richtig.
Er hat den Nachteil, daß man ihn kennen und sich merken muß - seine Funktionsweise ist nicht selbsterklärend.
"Unsere" Methode hat den Vorteil, daß man sich nichts Neues merken muß - man löst einfach lineare Gleichungssysteme, die sich zwanglos aus den bekannten Def. ergeben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Di 18.05.2010 | | Autor: | stk66 |
Ah, danke. Jetzt mir das Licht aufgegangen.
Für U+W sollte dann ja gelten:
U+W = [mm] (a\cdot\vektor{ 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 }+b\cdot\vektor{ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 }) [/mm] + [mm] (c\cdot\vektor{ 3 \\ 0 \\ -1 \\ 2 }+d\cdot\vektor{ -2 \\ 1 \\ 2 \\ -1 })
[/mm]
Kann ich hier analog vorgehen und U+W=0 setzten, lösen und prüfen, welche Vektoren zur Lösungsmenge gehören?
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> Für U+W sollte dann ja gelten:
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> U+W = [mm] \{(a\cdot\vektor{ 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 }+b\cdot\vektor{ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 })+(c\cdot\vektor{ 3 \\ 0 \\ -1 \\ 2 }+d\cdot\vektor{ -2 \\ 1 \\ 2 \\ -1 })| a,b,c,d\in \IR\}
[/mm]
>
> Kann ich hier analog vorgehen und U+W=0 setzten, lösen und
> prüfen, welche Vektoren zur Lösungsmenge gehören?
Hallo,
die vier Vektoren sind ein Erzeugendensystem von U+W, und Du suchst nun eine Basis.
Zum Finden einer solchen gibt es verschiedene Möglichkeiten:
1. Stell die Vektoren als Spalten in eine Matrix, bring diese auf ZSF.
Der Rang der Matrix ist schonmal die Dimension von U+W.
mal angenommen, Du hast die führenden zeilenelemente der Nichtnullzeilen in Spalte 2 und 3: dann sind der 2. und 3. der Ursprungsvektoren eine Basis von U+W.
2. Leg die Vektoren als Zeilen in eine Matrix und bring diese auf ZSF.
Die Nichtnullzeilen bilden (wiederaufgerichtet zu Spalten) eine Basis von U+W.
Ich bevorzuge meist Variation 1, weil ich so U [mm] \cap [/mm] W und U+W in einem Aufwasch erledigen kann.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:55 Di 18.05.2010 | | Autor: | wieschoo |
Hallo,
um solche Basen zu bestimmen gibt es den Zassenhaus-Algorithmus. Damit kannst dann auch direkt die Basen von [mm] $U\cap [/mm] W$ und $U+W$ ablesen.
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