Basen von V < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 So 09.01.2011 | | Autor: | Ersti10 |
| Aufgabe | Es seien in [mm] \IR^{5} [/mm] die Vektoren:
[mm] v_{1}:= [/mm] (4,1,1,0,-2) ; [mm] v_{2}:= [/mm] (0,1,4,-1,2) ; [mm] v_{3}:= [/mm] (4,3,9,-2,2);
[mm] v_{4}:= [/mm] (1,1,1,1,1) ; [mm] v_{5}:= [/mm] (0,-2,-8,2,-4)
gegeben. Weiter sei V:= [mm] span(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5}).
[/mm]
Finden Sie alle Basen von V die aus den Elementen { [mm] v_{1}, [/mm] . . . , [mm] v_{5} [/mm] } bestehen, und kombinieren Sie jeweils [mm] v_{1}, [/mm] . . . , [mm] v_{5} [/mm] daraus linear. |
Also:
Mein erster Schritt war es zu gucken, ob es Vektoren gibt, die linear abhängig sind. Das ist bei [mm] v_{2} [/mm] und [mm] v_{5} [/mm] der Fall.
Bei [mm] v_{1},v_{2},v_{3} [/mm] muss ich noch prüfen ob die linear unabhängig sind.
Nun kommt aber meine Fragen.
1.)Ich soll ja alle Basen von V finden, also wird das klar mehr als eine sein. Reicht es da aus, wenn ich 2 Vektoren nehme die lin. unabhängig sind, oder brauche ich doch 5 Vektoren, da wir uns im [mm] \IR^{5} [/mm] befinden?
2.) Ich verstehe den letzten Teil der Aufgabe nicht. Wenn ich die Basen gefunden habe, wieso soll ich dann die Vektoren daraus linear kombinieren? Wie ist das machbar?
Hoffe jmd. kann mir helfen. =)
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Hallo Ersti10,
> Es seien in [mm]\IR^{5}[/mm] die Vektoren:
> [mm]v_{1}:=[/mm] (4,1,1,0,-2) ; [mm]v_{2}:=[/mm] (0,1,4,-1,2) ; [mm]v_{3}:=[/mm]
> (4,3,9,-2,2);
> [mm]v_{4}:=[/mm] (1,1,1,1,1) ; [mm]v_{5}:=[/mm] (0,-2,-8,2,-4)
> gegeben. Weiter sei V:=
> [mm]span(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5}).[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Finden Sie alle Basen von V die aus den Elementen { [mm]v_{1},[/mm]
> . . . , [mm]v_{5}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} bestehen, und kombinieren Sie jeweils
> [mm]v_{1},[/mm] . . . , [mm]v_{5}[/mm] daraus linear.
> Also:
> Mein erster Schritt war es zu gucken, ob es Vektoren gibt,
> die linear abhängig sind. Das ist bei [mm]v_{2}[/mm] und [mm]v_{5}[/mm] der
> Fall.
Ok, dann kannst du (meinetwegen) [mm]v_5[/mm] schonmal rausschmeißen.
Dann stopfe mal [mm]v_1,..., v_4[/mm] als Spalten in eine Matrix und bringe sie in Zeilenstufenform, um ihren Rang zu bestimmen.
Der gibt die die Dimension des von den Vektoren [mm]v_1,..., v_4[/mm] aufgespannten Raumes an.
Greife dir dann jeweils entsprechend dieser Dimension viele Vektoren aus dem Spann raus und prüfe auf lineare Unabh., je Dim.-viele lin. unabh. Vektoren bilden dann eine Basis
> Bei [mm]v_{1},v_{2},v_{3}[/mm] muss ich noch prüfen ob die linear
> unabhängig sind.
>
> Nun kommt aber meine Fragen.
>
> 1.)Ich soll ja alle Basen von V finden, also wird das klar
> mehr als eine sein. Reicht es da aus, wenn ich 2 Vektoren
> nehme die lin. unabhängig sind, oder brauche ich doch 5
> Vektoren, da wir uns im [mm]\IR^{5}[/mm] befinden?
>
> 2.) Ich verstehe den letzten Teil der Aufgabe nicht. Wenn
> ich die Basen gefunden habe, wieso soll ich dann die
> Vektoren daraus linear kombinieren? Wie ist das machbar?
Nun, sagen wir hypothetisch (ich habe nichts gerechnet!), du rechnest aus, Dim=3 und [mm]\{v_1,v_2,v_4\}[/mm] bildet eine Basis.
Dann kannst du etwa [mm]v_5[/mm] darstellen als [mm]v_5=\lambda\cdot{}v_1+\mu\cdot{}v_2+\nu\cdot{}v_4[/mm]
Da du oben schon nachgerechnet hast, dass [mm]v_2,v_5[/mm] lin. abh. sind, kannst du schreiben
[mm]v_5=0\cdot{}v_1-2\cdot{}v_2+0\cdot{}v_4[/mm]
In den anderen Fällen musst du etwas mehr Rechenaufwand betreiben, um die Koeffizienten [mm]\lambda,\mu,\nu[/mm] zu bestimmen.
>
> Hoffe jmd. kann mir helfen. =)
Gruß
schachuzipus
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