Basen zu linearer Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Finden Sie zwei Basen A= (v1 ;v2 ;v3 ) und B= (w1 ;w2 ;w3 ) von [mm] R^3 [/mm] , so dass [mm] M^A_B [/mm] (F) = [mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}. [/mm] |
Irgendwie stehe ich hier auf dem Schlauch. Die Aufgabenstellung besagt, dass wir zwei Basen in [mm] R^3 [/mm] finden sollen. Die Abbildung ist aber doch singulär, d.h. sie bildet den [mm] R^3 [/mm] auf eine Ebene ab. Dann müsste doch die zweite Basis eine Basis aus nur zwei Vektoren sein, oder? Wenn ich nun als erste Basis die kanonische Einheitsbasis waehle, wäre dann die zweite einfach ablesbar als w1 = (1,1,0) und w2 = (0,1,0)? Vor lauter Transformation stehe ich mittlerweile richtig auf dem Schlauch, deswegen hoffe ich, dass ihr trotzdem mit meiner Frage etwas anfangen könnt.
Oder brauche ich noch eine zweite Matrix, die mir die Abbildung für A' und B' definiert? Die ist in einer vorhergehenden Teilaufgabe nämlich gegeben und lautet A = [mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 1\\
-1 & 1 & -2
\end{pmatrix}.
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:56 Mo 13.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Finden Sie zwei Basen A= (v1 ;v2 ;v3 ) und B= (w1 ;w2 ;w3 )
> von [mm]R^3[/mm] , so dass [mm]M^A_B[/mm] (F) = [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.[/mm]
>
> Irgendwie stehe ich hier auf dem Schlauch. Die
> Aufgabenstellung besagt, dass wir zwei Basen in [mm]R^3[/mm] finden
> sollen. Die Abbildung ist aber doch singulär, d.h. sie
> bildet den [mm]R^3[/mm] auf eine Ebene ab. Dann müsste doch die
> zweite Basis eine Basis aus nur zwei Vektoren sein, oder?
Nein. Die Abb. bildet [mm] \IR^3 [/mm] auf eine Teilmenge des [mm] \IR^3 [/mm] ab. Daran ist doch nichts besonderes !
> Wenn ich nun als erste Basis die kanonische Einheitsbasis
> waehle, wäre dann die zweite einfach ablesbar als w1 =
> (1,1,0) und w2 = (0,1,0)?
[mm] w_3 [/mm] = ??
Nein. Dann wäre z.B. [mm] $F(e_1)=w_1=1*w_1+0*w_2+0*w_3$ [/mm] und die erste Spalte der Abb. - Matrix würde so aussehen:
[mm] \vektor{1\\ 0 \\ 0}
[/mm]
!!!
Wähle doch A=B= kanonische Einheitsbasis
FRED
> Vor lauter Transformation stehe
> ich mittlerweile richtig auf dem Schlauch, deswegen hoffe
> ich, dass ihr trotzdem mit meiner Frage etwas anfangen
> könnt.
>
> Oder brauche ich noch eine zweite Matrix, die mir die
> Abbildung für A' und B' definiert? Die ist in einer
> vorhergehenden Teilaufgabe nämlich gegeben und lautet A =
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 1\\
-1 & 1 & -2
\end{pmatrix}.[/mm]
>
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
Danke fuer die schnelle Antwort. Das heisst ja eigentlich nur, dass wir erkennen sollen, dass wir bei einer Abbildungsmatrix ohne weitere Angaben die Basen uns beliebig einfach wählen können?
Hieße das auch, dass ich jede beliebige Basis wählen könnte, also drei beliebige andere linear unabhängige Basisvektoren? Meine Vermutung ist ja.
Was mich halt stutzig macht ist, dass das so simpel sein soll. Und wieso werden dann die Basen A und B überhaupt unterschiedlich benannt, wenn es doch im Urbild und Bild die gleichen sein sollen?
Ergänzung: in der Aufgabenstellung ist vorher noch eine lineare Abbildung durch eine Matrix gegeben, und zwar die Matrix A = [mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & -2\\
\end{pmatrix}
[/mm]
Ist die Fragestellung eventuell so gemeint, dass beide die gleiche Abbildung darstellen, die erste dann logischerweise zur kanonischen Standardbasis und wir sollen nun eine weitere Basis finden, für die die Matrix dann die Form von [mm] M^A_B(F) [/mm] hat? Wie würde dann der Lösungsansatz aussehen?
Ginge das über [mm] M_B'^A'= T^B_B' [/mm] * [mm] M^A_B(F)* T_A^A' [/mm] und dann sind eben A'=B' und A = B? Sind dann auch die Transformationsmatrizen gleich?
|
|
|
| |
|
> Was mich halt stutzig macht ist, dass das so simpel sein
> soll
Hallo,
stutzig machen sollte Dich nicht die Einfachheit, sondern das F.
Irgendwas wird ja wohl damit gemeint sein...
Und dies bestätigst Du ja auch hier - was wiederum eine bestätigung dafür ist, daß es gut ist, stets den kompletten Aufgabentext mitzuteilen:
>
> Ergänzung: in der Aufgabenstellung ist vorher noch eine
> lineare Abbildung
welche sicher den hübschen Namen F trägt
> durch eine Matrix gegeben, und zwar die
> Matrix A = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & -2\\
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Ist die Fragestellung eventuell so gemeint, dass beide die
> gleiche Abbildung darstellen, die erste dann logischerweise
> zur kanonischen Standardbasis und wir sollen nun eine
> weitere Basis finden, für die die Matrix dann die Form von
> [mm]M^A_B(F)[/mm] hat?
Genau so ist das gemeint.
Es soll sein [mm] $M^A_B(F)$=$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. [/mm] $
Daran siehst Du: den dritten Basisvektor von A mußt Du so wählen, daß er auf den Nullvektor abgebildet wird, also [mm] f(v_3)=0.
[/mm]
Der zweiten Spalte entnimmst Du [mm] f(v_2)=w_2, [/mm] der ersten [mm] f(v_1)=w_1+w_2.
[/mm]
In diese Richtung solltest Du mal ein bißchen denken und probieren.
LG Angela
> Wie würde dann der Lösungsansatz aussehen?
>
> Ginge das über [mm]M_B'^A'= T^B_B'[/mm] * [mm]M^A_B(F)* T_A^A'[/mm] und dann
> sind eben A'=B' und A = B? Sind dann auch die
> Transformationsmatrizen gleich?
|
|
|
|
