Basenbestimmung eines Kerns < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Di 01.01.2008 | | Autor: | JulianTa |
| Aufgabe | Für die lineare Abbildung [mm] \Phi : \IR^3 \to \IR^4 [/mm], die bezüglich der Standardbasen von [mm] \IR^3 [/mm] und [mm] \IR^4 [/mm] durch die Matrix
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & -2 \\ -1 & -1 & 4 \\ 3 & -1 & 0 } [/mm]
beschrieben ist, bestimme man Basen von [mm] Ker(\Phi) [/mm] und [mm] Im(\Phi) [/mm]. |
Ich habe schon endlos herumgerechnet etc. und hab irgendwie ein Brett vorm Kopf.
Also, mir ist klar, wie die Abbildung aussieht, dass der Kern die Dimension 3 hat und habe auch schon die Matrix auf Zeilen-Stufen-Form gebracht. Aber wie mache ich dann weiter?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 Di 01.01.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
wie sieht denn deine Zeilen-Stufen-Matrix aus?
Meine sieht so aus:
[mm] A=\pmat{ 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Für den Kern muss ja gelten [mm] A\cdot{}x=0
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }*\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=0 \gdw x=\vektor{1 \\ 3 \\ 1}
[/mm]
Der Kern(A) hat die Dimension 1.
Das Bild hat Dimension 2 - z.B. mit [mm] y_1=\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] y_2=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}.
[/mm]
MfG barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 Fr 04.01.2008 | | Autor: | arschratte |
Noch eine kleine zusätzliche Erklärung:
Einen Kern bestimmst du, indem du wie schon gezeigt, die Gleichungen aufstellst und gleich 0 setzt. Wenn du die umgeformten Zeilen nimmst, ist es am leichtesten zu rechnen.
Da du nur zwei Gleichungen hast, aber drei Unbekannte, erkennst du, dass du eine freie Variable hast und zwei gebundene. Also wählst du eine freie Variable aus, setzt sie in die Gleichungen ein und berechnest die beiden gebundenen Variablen. barsch hat die freie Variable mit 1 angesetzt und dann die beiden anderen Variablen zu 1 und 3 berechnet.
Und noch ein Hinweis zur Basis Bild:
Ein Zitat von Angela:
Es bilden nun der Vektor, der URSPRÜNGLICH die erste Spalte war und der, der URSPRÜNGLICH die zweite Spalte war, eine Basis des Bildes. (Bzw. 1 und 3. Startvektor).
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