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Hallo ich habe folgende Aufgabe und hätte dazu mal eine Frage :o)
Die Aufgabe war: Bilden die Vektoren [mm] v_{1} \vektor{1 \\ 1\\1} , v_{2} \vektor{0 \\ 1\\1} und v_{3} \vektor{0 \\ 0\\1} [/mm] eine BASIS des [mm] \IR^{3} [/mm]
So war meine Berechnung:
[mm] \lambda 1 * v_{1} + \lambda 2 *v_{2} + \lambda 3 v_{3} = \vektor{0 \\ 0\\0}
dann Gleichungssystem
\lambda 1 = 0
\lambda 1 + \lambda 2 = 0
\lambda 1 + \lambda 2 + \lambda 3 = 0 [/mm]
und nun komme ich nicht mehr weiter !
Mfg
Christinchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 So 07.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Christinchen!
> Hallo ich habe folgende Aufgabe und hätte dazu mal eine
> Frage :o)
>
> Die Aufgabe war: Bilden die Vektoren [mm]v_{1} \vektor{1 \\ 1\\1}[/mm] , [mm]v_{2} \vektor{0 \\ 1\\1}[/mm] und [mm]v_{3} \vektor{0 \\ 0\\1} [/mm] eine BASIS des [mm]\IR^{3}[/mm]
Ich schreibe die Vektoren nochmal hin:
[mm] $v_1=\vektor{1 \\ 1\\1}, v_2=\vektor{0 \\ 1\\1}$ [/mm] und [mm] $v_3=\vektor{0 \\ 0\\1}$... [/mm]
> So war meine Berechnung:
[mm]\lambda[/mm]1 [mm]*v_{1}[/mm] + [mm]\lambda[/mm]2 [mm]*v_{2}[/mm] + [mm]\lambda[/mm]3 [mm]*v_{3}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0\\0}[/mm]
Du prüfst also die Vektoren auf lineare Unabhängigkeit. Wenn drei Vektoren des [mm] $\IR^3$ [/mm] nämlich linear unabhängig sind, dann bilden sie eine Basis des [mm] $\IR^3$!
[/mm]
> dann Gleichungssystem
> [mm]\lambda[/mm]1 [mm]= 0[/mm]
>
> [mm]\lambda[/mm]1 + [mm]\lambda[/mm]2 [mm]= 0[/mm]
>
> [mm]\lambda[/mm]1 + [mm]\lambda[/mm]2 + [mm]\lambda[/mm]3 [mm]= 0 [/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und nun komme ich nicht mehr weiter !
Das verstehe ich nicht. Du hast die Aufgabe so gut wie komplett gelöst, siehst es nur nicht ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]") . Also:
(I) [mm] $\lambda_1=0$
[/mm]
(II) [mm] $\lambda_1+\lambda_2=0$
[/mm]
(III) [mm] $\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=0$
[/mm]
Wir wissen also aus (I):
[mm] $(\star_1)$ $\lambda_1=0$.
[/mm]
Setzen wir dies in (II) ein, so folgt:
[mm] $0+\lambda_2=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $(\star_2)$ $\lambda_2=0$
[/mm]
Setzen wir nun das jetzige Wissen [mm] $(\star_1)$ [/mm] und [mm] $(\star_2)$ [/mm] (also: [m]\lambda_1=\lambda_2=0[/m]) in (III) ein, so folgt:
[mm] $0+0+\lambda_3=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $(\star_3)$ $\lambda_3=0$ [/mm]
D.h., die Gleichung [mm] $\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3=\vektor{0 \\ 0\\0}$ [/mm] ist genau dann erfüllt, wenn [mm] $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0$ [/mm] (wegen [mm] $(\star_1)$,$(\star_2)$ [/mm] und [mm] $(\star_3)$) [/mm] gilt.
Also sind [mm] $v_1$,$v_2$ [/mm] und [mm] $v_3$ [/mm] linear unabhängig und bilden eine Basis des [mm] $\IR^3$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Marcel
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Hallo
danke das war ja wirklich nicht schwer :o)
Ich hab dazu mal noch ne andere Frage die mich beschäftigt--- wieso können eigentlich zwei Vektoren keine Basis des R3 bilden ??
Danke nmochmals
Christinchen
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Hallo Christinchen!
Das ist eine sehr gute Frage und auch nicht leicht zu beantworten. Die Klärung dieser Frage nimmt normalerweise einen guten Teil des ersten Semesters in linearer Algebra ein, wenn die Grundbegriffe geklärt sind.
Daher hier nur kurz die Ergebnisse, ohne Beweise:
Nachdem der Begriff eines Vektorraumes und der linearen Unabhängigkeit klar sind, betrachtet man sogenannte "Erzeugendensysteme" von Vektorräumen. Das sind Teilmengen mit der Eigenschaft, dass jeder Vektor sich als (endliche) Linearkombination von Vektoren dieser Teilmenge schreiben läßt.
Um die Sache am Anfang nicht unnötig kompliziert zu machen, schränkt man sich auf eine spezielle Sorte von Vektorräumen ein, sogenannte "endlich erzeugte" Vektorräume, also solche, die ein endliches Erzeugendensystem besitzen.
Ein anderer Begriff ist der des linear unabhängigen Systems. Wenn ein System von Vektoren linear unabhängig ist, dann folgt, dass die Darstellungen von anderen Vektoren als Linearkombination von diesen immer eindeutig ist (bilde die Differenz zweier Darstellungen - das gibt 0, also sind die Koeffizienten die gleichen gewesen wg. lin. Unabhängigkeit).
Was man jetzt gerne hätte, ist ein Erzeugendensystem, das zugleich linear unabhängig ist. Und ein Satz sagt: das geht! So ein Ding heißt dann "Basis".
Wie bekommt man eine Basis? Nun, indem man z.B. von einem (endlichen) Erzeugendensystem startet und solange Vektoren entfernt, bis das linear unabhängig ist. Denn lineare Abhängigkeit besagt gerade, dass midnestens einer der Vektoren als Linearkombination der anderen schreibbar ist - dann kann man den auch weglassen, ohne das Erzeugnis zu ändern.
Es gibt noch eine andere Möglichkeit (den "Basisergänzungssatz"): man startet mit einer linear unabhängigen Menge und ergänzt diese mit weiteren dazu linear unabhängigen Vektoren so lange, bis ein Erzeugendensystem (eben eine Basis) erreicht ist.
A priori ist nicht klar, dass letzteres Verfahren abbricht und irgendwann zum Ziel führt - aber im Fall von endlich erzeugten Vektorräumen ist das so.
Das Verblüffende nun ist Folgendes *zum Punkt komm*:
Obwohl eine Basis im Allg. nicht eindeutig bestimmt ist (normalerweise gibt es unendlich viele verschiedene Basen, zumindest wenn der Körper nicht endlich ist), so ist doch die Anzahl der Elemente einer Basis immer gleich! Und diese Anzahl heißt "Dimension"!
Der [mm] $\IR^3$ [/mm] hat eine Dimension von 3, denn [mm] $e_1, e_2, e_3$ [/mm] ist eine Basis (mit [mm] $e_i$ [/mm] meine ich den Vektor, der an Position $i$ eine 1 stehen hat und sonst nur 0en). Wenn aber eine Basis drei Elemente hat, dann haben es alle!
Und deshalb können zwei Vektoren, selbst wenn sie linear unabhängig sind, nie eine Basis bilden - sie würden nicht den ganzen Raum erzeugen!
In diesem Fall kann man sich das auch geometrisch vorstellen: lineare Abhängigkeit heißt bei zwei Vektoren ja: sie liegen auf einer Geraden. Ist dies nicht der Fall, so liegen sie trotzdem in einer Ebene und diese Ebene ist gerade das, was die beiden Vektoren erzeugen - und da fehlt eben was, denn eine Ebene ist nicht der ganze [mm] $\IR^3$!
[/mm]
Alles klar? 
Lars
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Danke jetzt kann ich mir etwas daruter vorstellen
Mfg
Christinchen
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