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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:55 Mo 07.01.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei [mm] (v_1,v_2,v_3) [/mm] eine Basis eines 3-dimensionalen [mm] \IR-Vektorraumes [/mm] V. Seien
[mm] w_1=2v_1-v_2+2v_3 [/mm]
[mm] w_2=v_1+v_2+2v_3 [/mm]
[mm] w_3=v_1+v_2+3v_3 [/mm]
Beweisen Sie, dass auch [mm] (w_1,w_2,w_3) [/mm] eine Basis von V ist. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Reicht es, hier zu zeigen, dass die Determinante der Matrix [mm] \pmat{2&1&1\\-1&1&1\\2&2&3} [/mm] ungleich 0 ist ?
Danke, Susanne.
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> Sei [mm](v_1,v_2,v_3)[/mm] eine Basis eines 3-dimensionalen
> [mm]\IR-Vektorraumes[/mm] V. Seien
> [mm]w_1=2v_1-v_2+2v_3[/mm]
> [mm]w_2=v_1+v_2+2v_3[/mm]
> [mm]w_3=v_1+v_2+3v_3[/mm]
>
> Beweisen Sie, dass auch [mm](w_1,w_2,w_3)[/mm] eine Basis von V
> ist.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Reicht es, hier zu zeigen, dass die Determinante der Matrix
> [mm]\pmat{2&1&1\\-1&1&1\\2&2&3}[/mm] ungleich 0 ist ?
Hallo,
das ist raffiniert...
Ja, das reicht, wenn Du allerdings keinen passenden Satz auf Lager hast, mußt Du es irgendwie begründen.
Ich würde da ganz hausbacken drangehen:
Sei [mm] aw_1+bw_2+cw_3=0
[/mm]
==> ...
[mm] ==>(2a+b+c)v_1 [/mm] + [mm] (-a+b+c)v_2 [/mm] + [mm] (2a+2b+2c)v_3=0
[/mm]
==> wegen der linearen Unabhängigkeit der [mm] v_i [/mm] bekommst Du nun ein homogenes LGS mit den Variablen a,b,c, dessen Koeffizientenmatrix genau Deine ist...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Mo 07.01.2008 | | Autor: | SusanneK |
> > Sei [mm](v_1,v_2,v_3)[/mm] eine Basis eines 3-dimensionalen
> > [mm]\IR-Vektorraumes[/mm] V. Seien
> > [mm]w_1=2v_1-v_2+2v_3[/mm]
> > [mm]w_2=v_1+v_2+2v_3[/mm]
> > [mm]w_3=v_1+v_2+3v_3[/mm]
> >
> > Beweisen Sie, dass auch [mm](w_1,w_2,w_3)[/mm] eine Basis von V
> > ist.
> > Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
> >
> > Reicht es, hier zu zeigen, dass die Determinante der Matrix
> > [mm]\pmat{2&1&1\\-1&1&1\\2&2&3}[/mm] ungleich 0 ist ?
>
Guten Morgen Angela,
und vielen Dank für Deine schnelle Hilfe !
> Ich würde da ganz hausbacken drangehen:
Backen kann ich gut 
Leider Mathe noch nicht so richtig.
> Sei [mm]aw_1+bw_2+cw_3=0[/mm]
>
> ==> ...
>
> [mm]==>(2a+b+c)v_1[/mm] + [mm](-a+b+c)v_2[/mm] + [mm](2a+2b+2c)v_3=0[/mm]
>
> ==> wegen der linearen Unabhängigkeit der [mm]v_i[/mm] bekommst Du
> nun ein homogenes LGS mit den Variablen a,b,c, dessen
> Koeffizientenmatrix genau Deine ist...
OK, vielen Dank !
Darf ich hier noch eine allgemeine Frage zur Erstellung von Matrizen stellen - ich kriege das noch nicht so richtig hin, wann man eine Matrix aus den Spalten und wann man sie aus Zeilen erstellt.
Ist das so richtig?:
Wenn man Vektoren hat, aus denen man eine Matrix erstellt, nimmt man die Vektoren als Matrix-Spalten.
Wenn man ein LGS hat, nimmt man die Zeilen des LGS und diese Zeilen werden dann die Zeilen einer Matrix.
Danke, Susanne.
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> Darf ich hier noch eine allgemeine Frage zur Erstellung von
> Matrizen stellen - ich kriege das noch nicht so richtig
> hin, wann man eine Matrix aus den Spalten und wann man sie
> aus Zeilen erstellt.
Hallo,
letztendlich ist eine Matrix ja nichts anderes als ein Zahlenschema, und wie man was einträgt, hängt davon ab, was man vorhat.
> Ist das so richtig?:
> Wenn man Vektoren hat, aus denen man eine Matrix erstellt,
> nimmt man die Vektoren als Matrix-Spalten.
Wenn Du Spaltenvektoren hast, die Du auf lineare Un(Abhängigkeit) prüfst, ist es praktisch, wenn Du sie als Spalten in eine Matrix schreibst.
Du kannst dann nämlich im Falle der Abhängigkeit sofort sehen, welche eine unabhängige Teilmenge bilden und ggf. ablesen, wie ein nichttriviale Linearkombination, welche Null ergibt, lautet.
(Für manche Fragestellungen ist es aber auch sinnig, die Vektoren als Zeilen einzutragen.
Wenn man die in Zeilenstufenform bringt, kann man ebenfalls die lineare Unabhängigkeit ablesen, aus den Nichtnullzeilen erhält man direkt eine Basis des aufgespannten Raumes.)
> Wenn man ein LGS hat, nimmt man die Zeilen des LGS und
> diese Zeilen werden dann die Zeilen einer Matrix.
Ja, die Koeffizienten aus den Zeilen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:15 Mo 07.01.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Angela,
vielen Dank für die Info und Hilfe !!
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