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| Aufgabe | | Es sei V ein Vektorraum und [mm] U_1, U_2 [/mm] Untervektorraume mit V = [mm] U_1 \oplus U_2. [/mm] Weiter seien [mm] B_1, B_2 [/mm] Basen von [mm] U_1 [/mm] bzw. [mm] U_2. [/mm] Zeigen Sie, dass B := [mm] B_1 \cup B_2 [/mm] eine Basis von V ist. |
Hallo,
Mein Vorschlag ist:
[mm] B_1= [/mm] { [mm] b_{11}... b_{1n} [/mm] }
[mm] B_2= [/mm] { [mm] b_{21}... b_{2n} [/mm] }
V= [mm] U_1 \oplus U_2 \Rightarrow [/mm] für alle v [mm] \in [/mm] V, v = [mm] \summe_{i=1}^{n} x_i b_{1i} [/mm] + [mm] \summe_{j=1}^{n} x_j b_{2j} \Rightarrow B_1 \cup B_2 [/mm] erzeugt V.
Reicht das ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei V ein Vektorraum und [mm]U_1, U_2[/mm] Untervektorraume mit
> V = [mm]U_1 \oplus U_2.[/mm] Weiter seien [mm]B_1, B_2[/mm] Basen von [mm]U_1[/mm]
> bzw. [mm]U_2.[/mm] Zeigen Sie, dass B := [mm]B_1 \cup B_2[/mm] eine Basis von
> V ist.
> Hallo,
>
> Mein Vorschlag ist:
>
> [mm]B_1=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]b_{11}... b_{1n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> [mm]B_2=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]b_{21}... b_{2n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Erstmal zweierlei:
1. Ist V als endlichdimensional vorausgesetzt? Wenn nicht, dann sind ja U_1 und U_2 nicht beide endlichdimensional.
2. Bei Dir haben U_1 und U_2 dieselbe Dimension, wovon in den Voraussetzungen nichts steht. Da mußt Du einen anderen Buchstaben spendieren.
> V= [mm]U_1 \oplus U_2 \Rightarrow[/mm] für alle v [mm]\in[/mm] V, v =
> [mm]\summe_{i=1}^{n} x_i b_{1i}[/mm] + [mm]\summe_{j=1}^{n} x_j b_{2j} \Rightarrow B_1 \cup B_2[/mm]
> erzeugt V.
>
> Reicht das ?
Nein.
Für Basis ist zu zeigen
a. Erzeugendensystem
b. linear unabhängig.
Gruß v. Angela
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[mm] U_1 \oplus U_2 [/mm] = V [mm] \Rightarrow \summe_{i=1}^{n} x_i b_{1i} [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{k} x_j b_{2j} [/mm] genau dann wenn alle [mm] x_i [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \summe_{i=1}^{n} x_i b_{1i} [/mm] + [mm] \summe_{j=1}^{k} x_j b_{2j} [/mm] = 0 genau dann wenn alle [mm] x_i=0 \Rightarrow [/mm] { [mm] b_{11},,,,, b_{1n}, b_{21},,,,,b_{2k} [/mm] } sind linear unabhängig.
Ich schreibe noch diese Zeile dazu.
Reicht es jetzt?
Ich denke die sind nicht endlichdimensional. Was soll ich machen. Soll ich statt k und n [mm] unendlich"\infty" [/mm] schreiben.
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Hallo,
Welches Semester bist du denn?
Weil die Aufgabe um einiges leichter ist, wenn ihr nur endlichdimensionale Vektorräume betrachtet.
Du musst ausnutzen, dass die Summe direkt ist, um lineare Unabhängigkeit aller Basisvektoren zu zeigen.
Dass die Vektoren innerhalb einer Basis [mm] B_1 [/mm] oder [mm] B_2 [/mm] unabhängig sind, ist ja klar, aber dass alle aus [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] untereinander unabhängig ist fehlt noch iwie.
lg Kai
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Ich bin 6 Semester. Das ist mein Alle letzte Vordiplom Klausur. Die sind die Aufgaben von Tutorium. Manche sind nur Verständnisfragen.
Ich habe doch nur die lineare Unabhängigkeit aller Basisvektoren gezeigt.
Habe ich es falsch gemacht? Wenn ja. Wo liegt das Fehler.
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> [mm]U_1 \oplus U_2[/mm] = V [mm]\Rightarrow \summe_{i=1}^{n} x_i b_{1i}[/mm]
> = [mm]\summe_{j=1}^{k} x_j b_{2j}[/mm] genau dann wenn alle [mm]x_i[/mm] = 0
Hallo,
wo kommt diese Folgerung her?
ja nicht direkt aus der direkten Summe.
Das muß genauer sein.
Du kannst So beginnen:
Sei
[mm] \summe_{i=1}^{n} x_i b_{1i}[/mm] [/mm] + [mm]\summe_{j=1}^{k} x_j b_{2j}[/mm] =0
==>
[mm] \summe_{i=1}^{n} x_i b_{1i}[/mm] [/mm] =- [mm]\summe_{j=1}^{k} x_j b_{2j}[/mm]
==> ???
> Ich denke die sind nicht endlichdimensional. Was soll ich
> machen. Soll ich statt k und n [mm]unendlich"\infty"[/mm] schreiben.
Oh nein, keinesfalls. Es ist ja auch überhaupt nicht gesagt, daß die Dimensionen abzählbar sind.
Außerdem sind die Linearkombinationen der Linearen Algebra endliche Summen.
Das Erzeugendensystem macht wenig Probleme: Du weißt daß man jedes Element aus V als Summe zweier Elemente [mm] u_1, u_2 [/mm] aus [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] schreiben kannst, und dann sagst Du, daß es Vektoren b_11,..., b_1n [mm] \in U_1 [/mm] und entsprechend aus [mm] U_2 [/mm] gibt mit [mm] u_1=... [/mm] und [mm] u_2=....
[/mm]
Bevor Du mit der linearen Unabhängigkeit anfängst, solltest Du nochmal nachschauen (und aufschreiben), wie Ihr die definiert habt für allg. Vektorräume. Danach können wir weiterüberlegen.
Gruß v. Angela
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Hallo,
Ich habe von unserem Script Direkte Summe und Abhängigkeit sehr langsam und vorsichtig abgeschrieben.
> > [mm]U_1 \oplus U_2[/mm] = V [mm]\Rightarrow \summe_{i=1}^{n} x_i b_{1i}[/mm]
> > = [mm]\summe_{j=1}^{k} x_j b_{2j}[/mm] genau dann wenn alle [mm]x_i[/mm] = 0
>
> Hallo,
>
> wo kommt diese Folgerung her?
>
> ja nicht direkt aus der direkten Summe.
>
> Das muß genauer sein.
>
>
> Du kannst So beginnen:
>
> Sei
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} x_i b_{1i}[/mm][/mm] + [mm]\summe_{j=1}^{k} x_j b_{2j}[/mm]
> =0
>
> ==>
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} x_i b_{1i}[/mm][/mm] =- [mm]\summe_{j=1}^{k} x_j b_{2j}[/mm]
>
> ==> ???
Warum kann ich so beginnen:
[mm]\summe_{i=1}^{n} x_i b_{1i}[/mm][/mm] + [mm]\summe_{j=1}^{k} x_j b_{2j}[/mm]
=0
Woher kommt das?? Ist dieses die Definition von Lineare Unabhängigkeit von zweier Mengen?
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> Hallo,
>
> Ich habe von unserem Script Direkte Summe und Abhängigkeit
> sehr langsam und vorsichtig abgeschrieben.
Aha. Aber ich seh's nicht...
>
> > > [mm]U_1 \oplus U_2[/mm] = V [mm]\Rightarrow \summe_{i=1}^{n} x_i b_{1i}[/mm]
> > > = [mm]\summe_{j=1}^{k} x_j b_{2j}[/mm] genau dann wenn alle [mm]x_i[/mm] = 0
> >
> > Hallo,
> >
> > wo kommt diese Folgerung her?
> >
> > ja nicht direkt aus der direkten Summe.
> >
> > Das muß genauer sein.
> >
> >
> > Du kannst So beginnen:
> >
> > Sei
> >
> > [mm]\summe_{i=1}^{n} x_i b_{1i}[/mm][/mm] + [mm]\summe_{j=1}^{k} x_j b_{2j}[/mm]
> > =0
> >
> > ==>
> >
> > [mm]\summe_{i=1}^{n} x_i b_{1i}[/mm][/mm] =- [mm]\summe_{j=1}^{k} x_j b_{2j}[/mm]
> >
> > ==> ???
>
> Warum kann ich so beginnen:
> [mm]\summe_{i=1}^{n} x_i b_{1i}[/mm][/mm] + [mm]\summe_{j=1}^{k} x_j b_{2j}[/mm]
> =0
> Woher kommt das?? Ist dieses die Definition von Lineare
> Unabhängigkeit von zweier Mengen?
(Achtung, wir sind im Moment beim endlichdimensionalen Fall, dim V=n+k.)
Nein, nicht Def. und nicht von zwei Mengen, aber Du bist nah dran.
Man will doch die lineare Unabhängigkeit der Menge [mm] B_1\cup B_2 [/mm] = [mm] \{b_1_1,...,b_1_n, b_2_1,...,b_2_k\} [/mm] zeigen,
Lt Def der linearen Unabhängigkeit ist hierzu zu zeigen, daß aus [mm]\summe_{i=1}^{n} x_i b_{1i}[/mm]+ [mm]\summe_{j=1}^{k} x_j b_{2j}[/mm] =0 folgt, daß alle Vorfaktoren =0 sind.
Gruß v. Angela
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