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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:20 So 13.03.2011 | | Autor: | Kueken |
| Aufgabe | Aufgabe
Man konstruiere eine Basis für den von v1=(1,-2,0,1), v2=(0,0,2,5) v3=(-2,4,2,3 erzeugten Untervektorraum von [mm] R^{4} [/mm] und ergänze diese Basis dann zu einer Basis von [mm] R^{4}. [/mm] |
Hi!
Da ich gerade wieder in einer Klausurvorbereitung stecke, hab ich mal das Web durchsucht wegen Aufgaben. Die obige ist mir dabei über den Weg gelaufen und dazu gibt es auch eine Lösung. Die Weppage ist https://lp.uni-goettingen.de/get/text/2369 (3.Aufgabe). Jedenfalls weiß ich hier nicht so ganz wie die auf diese Lösung kommen. Ich hab erstmal die Vektoren auf lineare abhängigkeit geprüft. Das hier ist die Matrix, die ich dazu auf Stufenform gebracht habe [mm] \pmat{ 1 & 0 & -2 \\ -2 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & 5 & 3 } [/mm] Es kam dann raus, dass 2 Zeilen eine Nullzeile waren und ich hab dann von oben nach unten die Basisvektoren des Untervektorraums abgelesen. Die BAsisvekoren bei mir waren aber genau diejenigen, die die in der Musterlösung ergänzt hatten um eine Basis aus [mm] R^{4} [/mm] zu bekommen...
Was ist da schief gelaufen?
Vielen Dank und Viele Grüße
Kerstin
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Hallo Kueken,
> Aufgabe
> Man konstruiere eine Basis für den von v1=(1,-2,0,1),
> v2=(0,0,2,5) v3=(-2,4,2,3 erzeugten Untervektorraum von
> [mm]R^{4}[/mm] und ergänze diese Basis dann zu einer Basis von
> [mm]R^{4}.[/mm]
>
> Hi!
> Da ich gerade wieder in einer Klausurvorbereitung stecke,
> hab ich mal das Web durchsucht wegen Aufgaben. Die obige
> ist mir dabei über den Weg gelaufen und dazu gibt es auch
> eine Lösung. Die Weppage ist
> https://lp.uni-goettingen.de/get/text/2369 (3.Aufgabe).
> Jedenfalls weiß ich hier nicht so ganz wie die auf diese
> Lösung kommen. Ich hab erstmal die Vektoren auf lineare
> abhängigkeit geprüft. Das hier ist die Matrix, die ich
> dazu auf Stufenform gebracht habe [mm]\pmat{ 1 & 0 & -2 \\ -2 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & 5 & 3 }[/mm]
> Es kam dann raus, dass 2 Zeilen eine Nullzeile waren und
> ich hab dann von oben nach unten die Basisvektoren des
> Untervektorraums abgelesen. Die BAsisvekoren bei mir waren
> aber genau diejenigen, die die in der Musterlösung
> ergänzt hatten um eine Basis aus [mm]R^{4}[/mm] zu bekommen...
> Was ist da schief gelaufen?
Die Basisvektoren sind nicht aus [mm]\left\{v_{1},v_{2},v_{3}\right\}[/mm] gewählt worden.
>
> Vielen Dank und Viele Grüße
> Kerstin
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 So 13.03.2011 | | Autor: | Kueken |
Ähm, danke schonmal für deine Hilfe, aber das hilft mir jetzt gerade nicht wirklich weiter... was meinst du damit?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 So 13.03.2011 | | Autor: | Kueken |
Vielleicht zur Erklärung was ich warum gemacht habe:
Ich dachte, dass ich eine Basis brauche für den Vektorraum, der von den Vektoren v1,v2,v3 erzeugt wird. Dazu wollte ich wissen ob die Vektoren hier linear abhängig sind, damit ich die dimension weiß, die rauskommen muss. Und dann wollte ich zwei Vektoren, die linear unabhängig sind aus dem Untervektorraum nehmen um die basis aufzustellen. Was dann noch fehlt um einen [mm] R^{4} [/mm] zu bekommen, sollte anschließend ergänzt werden...
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Hallo Kueken,
> Ähm, danke schonmal für deine Hilfe, aber das hilft mir
> jetzt gerade nicht wirklich weiter... was meinst du damit?
Die Vektoren, die Du als Basisvektoren heraus hast,
liegen nicht in dem gegebenen Unterraum.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 So 13.03.2011 | | Autor: | Kueken |
Ok, und wo ist dann der Fehler? Ist der systematisch oder vermutlich rechenfehler?
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Hallo,
> Ok, und wo ist dann der Fehler? Ist der systematisch oder
> vermutlich rechenfehler?
Du hast am Anfang die Vektoren als Spaltenvektoren in die Matrix geschrieben. Du musst sie aber als Zeilenvektoren in die Matrix schreiben, wenn du dann Zeilenumformungen machst. Durch Zeilenumformungen ermittelst du nämlich eine Basis des Zeilenraums.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 So 13.03.2011 | | Autor: | Kueken |
Ok, dann mach ich das mal :) danke dir!
Die Matrix ist dann [mm] \pmat{ 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 5 \\ -2 & 4 & 2 & 3 } [/mm] umgeformt in Stufenform gibt das
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 4 }
[/mm]
Und welches sind dann die Basisvektoren? Ich glaub ich steig da noch nich so ganz durch...
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> Ok, dann mach ich das mal :) danke dir!
>
> Die Matrix ist dann [mm]\pmat{ 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 5 \\ -2 & 4 & 2 & 3 }[/mm]
> umgeformt in Stufenform gibt das
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & \red{0} }[/mm]
So müsste die ZSF lauten.
>
> Und welches sind dann die Basisvektoren? Ich glaub ich
> steig da noch nich so ganz durch...
die in den nicht Nullzeilen.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 So 13.03.2011 | | Autor: | Kueken |
Arg.. ich komm nich darauf, also auf die letzte Null
Hier mal die Zeilenumformung explizit:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 5 \\ -2 & 4 & 2 & 3 }
[/mm]
2 mal die erste - dritte Zeile gibt
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & -2 & -1 }
[/mm]
zweite + dritte Zeile
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 4 }
[/mm]
Ich find da keinen Fehler... seufz...
Stoppp ich hab ihn :D
ich hätte addieren müssen als erstes...
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> Arg.. ich komm nich darauf, also auf die letzte Null
> Hier mal die Zeilenumformung explizit:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 5 \\ -2 & 4 & 2 & 3 }[/mm]
>
> 2 mal die erste - dritte Zeile gibt
rechne hier besser:
dritte zeile + zweimal erste Zeile. Dann siehst du es.
>
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & -2 & -1 }[/mm]
>
> zweite + dritte Zeile
>
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 4 }[/mm]
>
> Ich find da keinen Fehler... seufz...
>
>
> Stoppp ich hab ihn :D
> ich hätte addieren müssen als erstes...
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 So 13.03.2011 | | Autor: | Kueken |
Super Danke :)
die matrix steht :D
Also bekomm ich als Basis (1,-2,0,1) und (0,0,2,5) wie sieht man denn nun welche Vektoren ich zu der basis ergänzen muss? oder probiert man das einfach aus, also rät quasi zwei und prüft dann auf lineare unabhängigkeit?
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> Super Danke :)
> die matrix steht :D
> Also bekomm ich als Basis (1,-2,0,1) und (0,0,2,5) wie
> sieht man denn nun welche Vektoren ich zu der basis
> ergänzen muss? oder probiert man das einfach aus, also
> rät quasi zwei und prüft dann auf lineare unabhängigkeit?
Kannst du machen. Nimm z.B passende Einheitsvektoren, die lassen sich am besten ausprobieren.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 So 13.03.2011 | | Autor: | Kueken |
Danke dir!
Eine Sache find ich noch merkwürdig. Manchmal werden die basisvektoren als Zeilen und manchmal als Spalten geschrieben. Wovon hängt das denn ab? Ich glaub beim Basiswechsel musste ich die irgendwann mal als spalten in die Matrix schreiben...
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Hi, zu deiner aktuellen Frage:
Prinzipiell sind Vektoren als „Spalten“ aufgeführt- der Übersicht halber schreibt man sie jedoch oft als Zeilen. Dabei markiert man (meistens=)) mit einem Strich „’ „ oder einem hochgestellten „t“, dass es sich um die transponierte Form handelt, d.h., dass man sich die Zeile als Spalte denken muss.
War das deine Frage?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Mo 14.03.2011 | | Autor: | Kueken |
Ja, fast war das die Frage :)
Aber ich hab es schon begriffen. Ich glaub ich hab da mal wieder irgendwas verwuselt in meinem Hirn. Danke dir, das hat nochmal zum Verständnis beigetragen =)
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