Basis 3er Vektoren < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:38 Mo 05.03.2012 | | Autor: | racy90 |
Hallo
ich hab 2 Vektoren gegeben : [mm] a=\vektor{1 \\ 2\\3} [/mm] und [mm] b=\vektor{17 \\ 17\\17}
[/mm]
Nun soll ich einen 3.Vektor angeben sodass a,b und c eine Basis bilden.
Eine Basis bilden sie doch wenn sie lin.unab. sind oder?
Reicht es zb den Vektor [mm] c=\vektor{23\\ 23\\23} [/mm] anzugeben oder muss ich etwas berechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Mo 05.03.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Hallo
>
> ich hab 2 Vektoren gegeben : [mm]a=\vektor{1 \\
2\\
3}[/mm] und
> [mm]b=\vektor{17 \\
17\\
17}[/mm]
>
> Nun soll ich einen 3.Vektor angeben sodass a,b und c eine
> Basis bilden.
>
> Eine Basis bilden sie doch wenn sie lin.unab. sind oder?
ja.
>
> Reicht es zb den Vektor [mm]c=\vektor{23\\
23\\
23}[/mm] anzugeben
Ist der denn unabhängig von a und b?
> oder muss ich etwas berechnen?
Gruß
barsch
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 22:48 Mo 05.03.2012 | | Autor: | racy90 |
Denke schon das er lin.unab ist aber wahrscheinlich muss ich es noch rechnerisch beweisen.
Wie mache ich das in der Determinatenform?
Das hab ich leider nicht wirklich verstanden :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Mo 05.03.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Denke schon das er lin.unab ist aber wahrscheinlich muss
> ich es noch rechnerisch beweisen.
denkst du oder weißt du es? ;) Wählst du c so, sind die Vektoren nicht lin. unabhängig. Was bedeutet denn linear unabhängig?
Da [mm]0*\vektor{1 \\
2\\
3}+\bruch{23}{17}*\vektor{17 \\
17\\
17}=\vektor{23 \\
23\\
23}[/mm] ist c eine Linearkombination von a und b und somit nicht linear unabhängig zu a und b.
>
>
> Wie mache ich das in der Determinatenform?
>
> Das hab ich leider nicht wirklich verstanden :/
Siehe ![[]](/images/popup.gif) hier bsw. das Beispiel auf Seite 3.
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:26 Mo 05.03.2012 | | Autor: | racy90 |
naja lin unab. heißt ja [mm] a\lambda+b\mu+c\nu=0
[/mm]
Soll ich nun herumprobieren mit verschiedenen Determinaten und schauen welche [mm] \not=0 [/mm] dann sind die Vektoren ja lin. unabh oder?
also etwa [mm] so:\vmat{ 1 & 17 & 23\\ 2 & 17 & 23 \\3&17&23}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Mo 05.03.2012 | | Autor: | barsch |
> naja lin unab. heißt ja [mm]a\lambda+b\mu+c\nu=0[/mm]
nein! Hier fehlt etwas ganz Entscheidendes!
> Soll ich nun herumprobieren mit verschiedenen Determinaten
> und schauen welche [mm]\not=0[/mm] dann sind die Vektoren ja lin.
> unabh oder?
> also etwa [mm]so:\vmat{ 1 & 17 & 23\\
2 & 17 & 23 \\
3&17&23}[/mm]
Mit Hilfe der Determinante kannst du prüfen, ob Vektoren linear unabhängig sind, ja.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:42 Mo 05.03.2012 | | Autor: | racy90 |
Vektorpfeile?? Sonst fällt mir nichts ein.
Gibt es eine schnellere Methode als sich Determinanten auszurechnen,weil per Hand is das oft sehr mühsam
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Mo 05.03.2012 | | Autor: | barsch |
> Vektorpfeile?? Sonst fällt mir nichts ein.
Nein, die sind es nicht.
Seien [mm]\lambda_i\in\IR, \ i=1,2,3[/mm]. [mm]a,b,c\in\IR^3[/mm] heißen linear unabhängig, wenn gilt: [mm]\lambda_1*a+\lambda_2*b+\lambda_3*c=0[/mm][mm][/mm] [mm]\gdw{\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0}[/mm].
> Gibt es eine schnellere Methode als sich Determinanten
> auszurechnen,weil per Hand is das oft sehr mühsam
Was habt ihr denn in der VL für Verfahren verwendet? Hast du dir eigentlich mal das Beispiel angesehen, dass ich vorhin verlinkt hatte?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 Mo 05.03.2012 | | Autor: | racy90 |
aso oh ,ja das hatte ich wohl vergessen zum schreiben
ja hab ich aber leider steht bei dem BSp wenig Erklärung dabei.Zb warum man Zeilen und Spalten tauscht? Drum kann ich mir das nicht umlegen auf mein Bsp
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:47 Di 06.03.2012 | | Autor: | barsch |
Guten Morgen,
> aso oh ,ja das hatte ich wohl vergessen zum schreiben
>
> ja hab ich aber leider steht bei dem BSp wenig Erklärung
> dabei.Zb warum man Zeilen und Spalten tauscht? Drum kann
> ich mir das nicht umlegen auf mein Bsp
ein wenig Transferleistung musst du schon erbringen ;)
Generell muss man bei so einer Aufgabe in 2 Schritten vorgehen:
1. Schritt: Nehme die Vektoren [mm]\{e_1,e_2,e_3\}[/mm] mit [mm]e_1=\vektor{1 \\
0\\
0}, e_2=\vektor{0\\
1\\
0}, e_3=\vektor{0 \\
0 \\
1} [/mm] hinzu. Dann bildet das System [mm]\{a,b,e_1,e_2,e_3\}[/mm] ein Erzeugendensystem des [mm]\IR^3[/mm]. Allerdings keine Basis, denn die Basis ist ja das kleinste Erzeugendensystem.
Dann musst du aus [mm]\{e_1,e_2,e_3\}[/mm] einen Vektor [mm]e_i[/mm] finden, sodass [mm]\{a,b,e_i\}[/mm] ein System aus linear unabhängigen Vektoren ist.
Das kannst du z.B. über Gauß machen, indem du zeigst, dass das LGS
[mm]\lambda_1*a+\lambda_2*b+\lambda_3*e_i=0[/mm] nur die Lösung [mm]\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0[/mm] hat. Dann weißt du, dass die 3 Vektoren linear unabhängig sind.
2. Schritt: Zeige, dass sich jeder Vektor [mm]v\in\IR^3[/mm] als Linearkombination aus [mm]\{a,b,e_i\}[/mm] darstellen lässt.
Dass [mm] $\{a,b,e_i\}$ [/mm] eine Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] bildet, kann man auch mit Sätzen aus der VL begründen, sofern diese schon thematisiert wurden. Ein Blick ins Skript sollte weiterhelfen.
Das ist so die allg. (mir bekannte) Vorgehensweise.
Gruß
barsch
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