Basis, Bild, Kern - Begriffe < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Sa 11.02.2012 | | Autor: | moody |
Hallo,
also irgendwie scheiter ich daran mir vernünftig klar zu machen, was was ist und wie man es berechnet.
Also ich glaube schonmal folgendes zu wissen:
N(A)
Ist die Lösung des homogenen LGS
Basis N(A)
Wenn mein Kern [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] ist, ist das auch gleichzeitig die Basis?
Kann ich überhaupt einen Kern bekommen, der aus mehr als einem Vektor besteht, so dass ich überprüfen muss ob die Vektoren lin. unabh. sind um meine Basis N(A) zu bestimmen?
[mm] $A\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] $dann kann mein Kern doch nur [mm] \vec{x} [/mm] sein?
Bild
darauf wird abgebildet
Basis Bild
Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren ( durch Gauß )
Aber wie bekomme ich dann mein Bild?
Ich hoffe ihr könnt etwas Licht ins Dunkle bringen.
lg moody
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> Hallo,
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> also irgendwie scheiter ich daran mir vernünftig klar zu
> machen, was was ist und wie man es berechnet.
>
> Also ich glaube schonmal folgendes zu wissen:
>
> N(A)
> Ist die Lösung des homogenen LGS
Hallo,
ja, mancherorten wird der Kern einer Matrix als N(A) bezeichnet.
Vorschlag: Du postest mal eine Matrix und dann gucken wir, was Kern, Bild und die zugehörigen Basen sind.
>
> Basis N(A)
> Wenn mein Kern [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{x \\
y \\
z}[/mm] ist, ist das
> auch gleichzeitig die Basis?
???
Nein, eine Basis enthält keine Variablen.
> Kann ich überhaupt einen Kern bekommen, der aus mehr als
> einem Vektor besteht,
Ja, sofern die Matrix nicht vollen Rang hat.
> so dass ich überprüfen muss ob die
> Vektoren lin. unabh. sind um meine Basis N(A) zu
> bestimmen?
Man bestimmt den Kern (bzw. seine Basis) normalerweise so geschickt, daß sich die Frage nach der Unabhängigkeit nicht stellt, weil sie einem ins Auge springt.
> [mm]A\vec{x} = \vec{0} [/mm]dann kann mein Kern doch nur [mm]\vec{x}[/mm]
> sein?
Der Kern besteht aus allen Vektoren, die Du für [mm] \vec{x} [/mm] einsetzen kannst, so daß [mm] $A\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] $ richtig ist.
>
> Bild
> darauf wird abgebildet
Das Bild enthält alle Ergebnisse die man ekommt, wenn man in [mm] A\vec{x} [/mm] alle erlaubten [mm] \vec{x} [/mm] einsetzt.
> Basis Bild
> Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren ( durch Gauß
> )
Eine Basis des Bildes bkommt man, wenn man aus den Spalten von A eine maximale linear unabhängige Teilmenge auswählt.
Die Anzahl der Vektoren in dieser Teilmenge ist die Dimension des Bildes.
>
> Aber wie bekomme ich dann mein Bild?
Das ist die Menge aller Linearkombinationen, die man aus diesen Vektoren bilden kann.
LG Angela
>
> Ich hoffe ihr könnt etwas Licht ins Dunkle bringen.
>
> lg moody
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Sa 11.02.2012 | | Autor: | moody |
> Vorschlag: Du postest mal eine Matrix und dann gucken wir,
> was Kern, Bild und die zugehörigen Basen sind.
Gerne 
> Nein, eine Basis enthält keine Variablen.
Oops, habe vergessen da Zahlen reinzuschreiben.
Es sei $A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0& 1 }$
[/mm]
Dann fangen ich mal mit dem Kern:
$A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0& 1 } \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] = [mm] \vec{0}$ [/mm]
I = -1 * II + I
II = -1* III + II
$A = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0& 1 } \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] = [mm] \vec{0}$ [/mm]
[mm] \Rightarrow \vektor{x_1 = -x_4 \\ 0 \\ 0 \\ x_4}
[/mm]
Mmh, normalerweise kam da bisher immer [mm] \vec{x} [/mm] mit Zahlen raus, kann ich mein Ergebnis jetzt so als N(A) stehen lassen oder muss ich damit noch was machen?
Basis N(A) ist doch dann ebenfalls [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{x_1 = -x_4 \\ 0 \\ 0 \\ x_4} [/mm] ?
Basis des Bildraumes:
[mm] $A^T [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 }$ [/mm] könnte ich jetzt über Zeilenumformungen rausfinden oder doch auch aus der bereits für die Bestimmung von N(A) verwendeten Matrix ablesen, man sieht das der erste und letzte Spaltenvektor nicht linearunabhängig sind.
$A = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0& 1 }$
[/mm]
Also sind die Einheitsvektoren die Basis des Bildraumes.
Und der Bildraum ist ja dann
$< [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0& 1 }>$
[/mm]
Muss ich da noch irgendwas rechnen oder reicht das so?
Damit ich gleich auch alles richtig habe und verstehe:
rg(A) = 3
dim(A) = 4
=> dim(N(A)) = 1
Was genau bedeutet nun dass mein Kern nur 1 Dimension hat, es ist nur 1 lin. unabh. Vektor enthalten?
Und die Dimension meines Bildraumes ist doch 3 weil sie aus 3 lin. unabhängigen Vektoren besteht? Hat die Basis auch eine Dimension?
lg moody
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Hallo moody,
> > Vorschlag: Du postest mal eine Matrix und dann gucken wir,
> > was Kern, Bild und die zugehörigen Basen sind.
> Gerne
>
> > Nein, eine Basis enthält keine Variablen.
> Oops, habe vergessen da Zahlen reinzuschreiben.
>
> Es sei [mm]A = \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0& 1 }[/mm]
>
> Dann fangen ich mal mit dem Kern:
>
> [mm]A = \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0& 1 } \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} = \vec{0}[/mm]
> I = -1 * II + I
> II = -1* III + II
> [mm]A = \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0& 1 } \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} = \vec{0}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \vektor{x_1 = -x_4 \\ 0 \\ 0 \\ x_4}[/mm]
>
> Mmh, normalerweise kam da bisher immer [mm]\vec{x}[/mm] mit Zahlen
> raus, kann ich mein Ergebnis jetzt so als N(A) stehen
> lassen oder muss ich damit noch was machen?
>
> Basis N(A) ist doch dann ebenfalls [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{x_1 = -x_4 \\ 0 \\ 0 \\ x_4}[/mm]
> ?
Besser so: [mm]N\left(A\right)= < \vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1} >[/mm]
>
> Basis des Bildraumes:
>
> [mm]A^T = \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 }[/mm]
> könnte ich jetzt über Zeilenumformungen rausfinden oder
> doch auch aus der bereits für die Bestimmung von N(A)
> verwendeten Matrix ablesen, man sieht das der erste und
> letzte Spaltenvektor nicht linearunabhängig sind.
> [mm]A = \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0& 1 }[/mm]
>
> Also sind die Einheitsvektoren die Basis des Bildraumes.
>
> Und der Bildraum ist ja dann
> [mm]< \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0& 1 }>[/mm]
>
Hier muss es doch so lauten:
[mm]< \pmat{ 1\\ 0 \\ 0}, \pmat{ 0 \\ 1 \\ 0}. \pmat{0 \\ 0 \\ 1}>[/mm]
> Muss ich da noch irgendwas rechnen oder reicht das so?
>
> Damit ich gleich auch alles richtig habe und verstehe:
>
> rg(A) = 3
> dim(A) = 4
> => dim(N(A)) = 1
> Was genau bedeutet nun dass mein Kern nur 1 Dimension hat,
> es ist nur 1 lin. unabh. Vektor enthalten?
Genau.
> Und die Dimension meines Bildraumes ist doch 3 weil sie
> aus 3 lin. unabhängigen Vektoren besteht? Hat die Basis
Ja.
> auch eine Dimension?
>
Die Dimension der Basis des Bildes
ist gleich der Dimension des Bildraumes.
> lg moody
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:10 Sa 11.02.2012 | | Autor: | moody |
> Hier muss es doch so lauten:
>
> [mm]< \pmat{ 1\\ 0 \\ 0}, \pmat{ 0 \\ 1 \\ 0}. \pmat{0 \\ 0 \\ 1}>[/mm]
Ja richtig, hab das falsche kopiert.
Vielen Dank soweit schonmal an alle! Ich hoffe ich hab es jetzt raus :)
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