Basis Eigenwert unabhängig < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:13 Mi 16.03.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Sei V mit Dimension $n [mm] \ge [/mm] 1$, sei $B$ eine Basis und sei $f$ in $End V$. Zeige, dass [mm] $det(\phi_{B}(f) [/mm] - [mm] tE_{n})$ [/mm] unabhängig von $B$ ist. |
Hallo,
zu zeigen ist hier, dass der Eigenwert unabhängig von der Basis ist. Das heisst bei einem Basiswechsel wechselt auch der Eigenvektor die Basis.
[mm] $\phi_{B}(f) [/mm] v = [mm] \lambda [/mm] v [mm] \Rightarrow S^{-1}\phi_{B}(f)S(S^{-1}v)=\lambda(S^{-1}v)$ [/mm]
Stimmt das?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:18 Do 17.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei V mit Dimension [mm]n \ge 1[/mm], sei [mm]B[/mm] eine Basis und sei [mm]f[/mm] in
> [mm]End V[/mm]. Zeige, dass [mm]det(\phi_{B}(f) - tE_{n})[/mm] unabhängig
> von [mm]B[/mm] ist.
> Hallo,
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> zu zeigen ist hier, dass der Eigenwert unabhängig von der
> Basis ist.
Nein. Die Eigenwerte von f sind von der gewählten Basis völlig unberührt !! Zu zeigen ist das nicht, das ist doch völlig klar.
Was ist die Situation ?
Du hast eine Basis B von V. Bezügl. dieser hat f die Abbildungsmatrix [mm] \phi_{B}(f)
[/mm]
Dann ist [mm]det(\phi_{B}(f) - tE_{n})[/mm] das char. Polynom von [mm] \phi_{B}(f)
[/mm]
Ist nun C eine weitere Basis von V, so ist zu zeigen:
[mm]det(\phi_{C}(f) - tE_{n})=det(\phi_{B}(f) - tE_{n})[/mm]
FRED
> Das heisst bei einem Basiswechsel wechselt auch
> der Eigenvektor die Basis.
>
>
> [mm]\phi_{B}(f) v = \lambda v \Rightarrow S^{-1}\phi_{B}(f)S(S^{-1}v)=\lambda(S^{-1}v)[/mm]
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> Stimmt das?
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Danke und Gruss
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> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Do 17.03.2011 | | Autor: | kushkush |
5. zu zeigen ist: [mm] $det(\phi_{C}(f)-tE_{n})=det(\phi_{B}(f)-tE_{n})$
[/mm]
[mm] $det(\phi_{C}(f)-tE_{n})=det(S^{-1}\phi_{B}(f)S-tE_{n})$
[/mm]
[mm] $\gdw det(S^{-1}(\phi_{B}(f)-tE_{n})S)$
[/mm]
[mm] $\gdw (S^{-1}\phi_{B}(f)-tS^{-1}E_{n})S$
[/mm]
[mm] $\gdw (S^{-1}\phi_{B}(f)-tS^{-1})S$
[/mm]
[mm] $\gdw (S^{-1}\phi_{B}(f)S-tS^{-1}S)$
[/mm]
[mm] $\gdw det(S^{-1})det(\phi_{B}(f)-tE_{n})det(s)$
[/mm]
[mm] $\gdw det(\phi_{B}(f)-tE_{n})$
[/mm]
richtig?
> FRED
Danke
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 Do 17.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> 5. zu zeigen ist:
> [mm]det(\phi_{C}(f)-tE_{n})=det(\phi_{B}(f)-tE_{n})[/mm]
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> [mm]det(\phi_{C}(f)-tE_{n})=det(S^{-1}\phi_{B}(f)S-tE_{n})[/mm]
> [mm]\gdw det(S^{-1}(\phi_{B}(f)-tE_{n})S)[/mm]
Was treibst Du da ? Was soll das [mm] \gdw [/mm] in der Landschaft ???
Ich denke , Du bist auf dem richtigen Weg
[mm]det(\phi_{C}(f)-tE_{n})=det(S^{-1}\phi_{B}(f)S-tE_{n})=det(S^{-1}(\phi_{B}(f)-tE_{n})S)= det(S^{-1})* det(\phi_{B}(f)-tE_{n})* det(S)=det(\phi_{B}(f)-tE_{n}) [/mm]
FRED
> [mm]\gdw (S^{-1}\phi_{B}(f)-tS^{-1}E_{n})S[/mm]
>
> [mm]\gdw (S^{-1}\phi_{B}(f)-tS^{-1})S[/mm]
> [mm]\gdw (S^{-1}\phi_{B}(f)S-tS^{-1}S)[/mm]
>
> [mm]\gdw det(S^{-1})det(\phi_{B}(f)-tE_{n})det(s)[/mm]
> [mm]\gdw det(\phi_{B}(f)-tE_{n})[/mm]
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> richtig?
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> > FRED
>
> Danke
>
> Gruss
> kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 Do 17.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> Ich denke , Du bist auf dem richtigen Weg
Ok !
> FRED
Danke!
Gruss
kushkush
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